Cho: a + b + c = 5
ab + bc + ca = 8
cmr: 1 ≤ a,b,c ≤ 7/3.
Giải:
• Bổ đề:
Cho : x + y + z = 2 (1)
và xy + yz + zx = 1 (2)
cmr: x,y,z ≥ 0
Từ (1) ta có: y + z = 2 – x
Thay vào (2) ta được:
x(2-x) + yz – 1 = 0
<=> x
2
– 2x + 1 – yz = 0
Vì tồn tại x,y,z thỏa mãn (1) và (2) nên (3) tồn tại nghiệm x.
Có: ∆’ = 1 – (1-yz) ≥ 0
 yz ≥ 0.
 y,z cùng dấu.
Chứng minh tương tự ta có:
x,z cùng dấu.
x,y cùng dấu.
kết hợp với (1) => x,y,z ≥ 0
• cm: 1 ≤ a,b,c.
Ta có: (a – 1)(b – 1) = ab – (a + b) + 1.
(b – 1)(c – 1) = bc – (b + c) + 1.
(c – 1)(a – 1) = ca – (c + a) + 1.
Nên: (a – 1)(b – 1) + (b – 1)(c – 1) + (c – 1)(a – 1)
= (ab + bc + ac) – 2*(a + b + c) + 3
= 8 – 2*5 + 3 = 1 (4)
Ta có: a + b + c = 5 => (a – 1) + (b – 1) + (c – 1) = 2 (5)
Đặt: x = a – 1

theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0
nên: 7/3 – a ≥ 0 => 7/3 ≥ a.
Tương tự: b,c ≤ 7/3.