ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Số phức – Nhò thức Newton
=========================================================================
SỐ PHỨC – ĐẠI SỐ TỔ HP
SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số ( vẫn còn nhớ )
II. Dạng lượng giác của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
*
2 2
r a b= +
là mơđun của z.
*
ϕ
là một acgumen của z thỏa
cos
sin
a
r
b
r
ϕ
ϕ

=



ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= − + −
 
2. Cơng thức Moivre:
*n N
∈
thì
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
+

, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
.
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)
2
(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
iz
iz
iz
2
734
−=

( )
1
1 1
3
1 2
z
z i
z i
z i

−
=

−


−

=

+

.
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.
ĐS: z=1+i.
7. Giải phương trình:
4
1
z i
z i

.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
.
ĐS: z=1±i,
1 1
2 2
z i= − ±
.
11. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
.
12. Cho phương trình: (z + i)(z
2
−2mz+m
2
−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương

iz
.
ĐS: (x−3)
2
+(y+4)
2
=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 2z i z z i− = − +
.
ĐS:
2
4
x
y =
.
17. Trong các số phức thỏa mãn
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
2 3
2
z i− + =
⇒ … ⇒
( ) ( )
2 2

7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 ÷
 
.
HD: Sử dụng công thức Moivre.
ĐS: a. Phần thực
1
16
−
, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.

nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba
++++++=+
−−−−−−
11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
−
+
=
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)



+
x
x
với x>0.
ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4

nn
, biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++
nnnn
CCCC
(n là số nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
=
M
5. (ĐH_Khối A 2006)

k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Gv: Traàn Quang Thuaän Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Soá phöùc – Nhò thöùc Newton
=========================================================================
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−
n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6

3
=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
.
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2
1
1
11
=



−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).

+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
ĐS:
1
23
11
+
−
++
n
nn
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là
3 trong 2n điểm A
1

thỏa mãn hệ thức
1
0
..... 4096
2 2
n
n
a
a
a + + + =
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.
ĐS: a
8
=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n

=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
,
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n












++
















+


2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC
=
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức
1z i
= +
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S