Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ 8:CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Những kiến thức cơ bản:
Một điểm được coi là cố đinh nếu điểm đó:
- Là giao của hai đường cố định.
- Nằm trên một đường cố định cách một điểm cho trước một khoảng không đổi
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn.
Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác
O.
Gợi ý:
Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và
tia đối của tia AO. Ta có
.
. . AP=
AM AN
AP AO AM AN
AO
= ⇒
không
đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố
định nên P là điểm cố định.
Ví dụ 2 : (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây
cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường
tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và
đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra
AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được
2

luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng
chứng minh được AO. AP = AM. AN.
Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng
minh được
2 2
. . ( ).( )AM AN AD AE OD OA OE OA R OA= = + − = −
.
Khi đó
AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định.
Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định.
b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có . Suy ra H cố định.
Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung
trực của MN và .
Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là
đường cao nên:
MN cắt OH tại Q. Ta có
không đổi.
Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố
định.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. M là điểm tuỳ ý trên cung
AB. K là trung điểm của MB Chứng minh rằng đường thẳng qua K vuông góc với
đường thẳng MA luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Bài tập

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ
hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt
(O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD
Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm
ngoài và nằm trong đường tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác
MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau:
Bài toán 2:
Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt
(O) tại A và B. Khi đó tích MA. MB không đổi và bằng
Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D.
Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả.
Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm
cố định. Ta cùng xét các bài toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm
A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi
qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN
luôn đi qua một điểm cố định khác O.
Gợi ý:
Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta
có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P
thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung
cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn
tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường
tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9