Sở GD & ĐT Hà Nội
Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm
Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian : 120 phút
Bài 1- (4đ) a) Rút gọn:
( )
3
12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3
14 8 3

+ + +
ữ


b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì
4 3 2
6 11 6 1x x x x+ + + +

luôn có giá trị là số chính phơng
Bài 2 - (4đ) Cho biểu thức:
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
P
xy
xy xy


AD
+
=

cos2
b) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng
quy tại O. CMR: AC. cosA = BC.cosC
Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng:

( ) ( )
2 1 2 2m x m y + =
. Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất?
Sở GD & ĐT Hà Nội
Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm
Đáp án Đề thi chọn học sinh Giỏi
Năm học 2008 - 2009
Thời gian : 120 phút
Bài 1 - 4đ
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
2 2
2
3
) 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3

2 2
2
2
6 11 6 1 1 2 3 1
3 3 2 1
3 2 3 1
3 1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
+ + + + = + + + +
= + + + +
= + + + +
= + +
Do x nguyên nên
2
3 1x x+ +
nguyên nên
( )
2
2
3 1x x+ +
nguyên đpcm
Bài 2 - 4đ
a) ĐKXĐ: x, y 0; xy 1. Rút gọn đợc:
2
1
x
P


2 1
1
1 1
x x
P
x x
+
= =
+ +
(dấu = xảy ra khi x = 1 và y 1)
Vậy maxP = 1 x = 1 và y 1; y0
Bài 3- 4đ
c
b


S2
S1
D
A
B
C
1
2
F
O
H
E
D


=


(ĐK:
5
2
x
)
Vậy phơng trình có nghiệm x = 3
( ) ( )
( )
2
) 2 10 12 40
1 1 4 2 4 10
4 2 4 10 4
2 2 2 2
b x x x x
x x
VT x x
+ = +
+ +

= + + =
ữ

(Theo bđt Côsi)
Dấu = xảy ra khi
4 2
6

=
==+=
+=+===



2sin
cossin22;2sin
2
1
)(sin
2
1
2sin
2
1
)(sin
2
1
sin..
2
1
;sin..
2
1
2121
b) Vẽ EF BH. Trong BAH có EF là đờng trung bình BAH EF =1/2.AH
HOC đồng dạng FOE (g.g)
OE
OC

( )
( )
0 0
0 0 0 0
0 0
0
0 0 0
2 1 2 2
2 2 2 2
2 0
1
2 1 0 2
m x m y m
x y m x y m
x y
x
x y y
+ =
+ = + +
+ =
=


+ + = =





+a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P với
2
2 3
x =

c. Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2- (2đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì
4 3 2
6 11 6 1x x x x+ + + +

luôn có giá trị là số chính phơng
Bài 3- (5đ) Giải phơng trình :
2 2
) 1 1a x x + =
2
) 2 10 12 40b x x x x + = +
Bài 4 (6đ)
a) Cho ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b, Â = 2 ( < 45
0
).
CMR:
cb
bc
AD
+