Phòng Giáo dục Huyện Long Điền
Trường THCS Phước Hưng
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC : 2005 – 2006
Bài 1 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x
95
+ x
94
+ x
93
+ … + x
2
+ x + 1, chia hết cho đa thức
Q(x) = x
31
+ x
30
+ x
29
+ … + x
2
+ x + 1.
b) Chứng minh biểu thức :
A = 75(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4

2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 5) + 25
= 25.3(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 4 +1) + 25
= 25.(4 – 1)(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 4 + 1) + 25
(1 điểm) = 25(4
2006
– 1) + 25
(1 điểm) = 25.4
2006


−=+−++++
=
−
+
−
+
−
+
−
x
xxb
xxxx
a
Giải
a) Viết phương trình như sau :
0)4
21
273
()3
19
300
()2
17
323
()1
15
342
(
=−
−

()
5
1
3
1
()
3
1
1[(
2
1
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
=−=
−++−+−+−=++++
Phương trình có vô số nghiệm (1 điểm).
Bài 3 (4 điểm)
Chứng minh :
])()())[((
2
1
3
222333

– 3xyz ≥ 0.
Từ đó, ta có :

xyz
zyx
≥
++
3
333
(1 điểm)
b) (2 điểm). Đặt
333
,, czbyax
===
Ta thấy a, b, c không âm, nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a) ta có :
⇒≥
++
333
3
3
3
3
3
3
..
3
)()()(
cba
cba


⇒

)1(
ˆˆ
ADKAIK
=
∆
O’IA cân tại O’ nên
)2(
ˆˆ
'
ˆ
' KADIAOAIO
==

Từ (1) và (2) , suy ra:
0
0
90
ˆ
'
ˆ
'
ˆ
90
ˆ
ˆˆ
'
ˆ
=+=⇒

2)
ˆˆ
(2
ˆˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
===+=+⇒
=
=
BMAAMHBMHCMHDMH
AMHCMH
BMHDMH
⇒
C, M, D thẳng hàng.
Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường
trung bình, suy ra OM // AC, mà AC
⊥
CD nên OM
⊥
CD. Vậy CD là tiếp tuyến của đường
tròn (O).
b) (1 điểm). AC + BD = AH + BH = AB không đổi.
c) (1 điểm). OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD, suy ra OM
⊥
CD
MOI