VT Lí HAY V KHể
A. C hc
1. ng hc
Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ. B chuyển động sang phải với gia tốc
a

, còn vật nhỏ A đợc nối
với điểm C bằng một sợi dây không dãn đợc nâng lên theo đờng dốc chính của một mặt trụ của vật
B. Mặt này có bán kính R.
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng yên,
sợi dây luôn căng.
Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ sàn
lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D).

Giải:
Khi A đi từ sàn lên đến điểm cao nhất của trụ thì độ dời của nó sẽ là
AI

:


cos..2
22
DIADDIADIAIA
+==
(
4


=
)


2
2
1
atEF
=
Thời gian để trụ đi từ E đến F cũng chính là thời gian chuyển dời của vật nhỏ khi đi từ I đến A :
Suy ra:

a
R
a
R
a
AD
a
EF
t


====
2
.2
.2.2

Vận tốc trung bình của vật nhỏ A:
t
IA
v
=

1
1
v
xd
t

=
Thời
gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:
2
22
2
v
lx
t
+
=
.
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô :
21
ttt
+=
=
1
v
xd

2
22
v

( )
1
1
'
v
xf
=
22
1
lxv
nx
+
+
22
1
22
. lxv
lxnx
+
+
=
.
f(x) = 0

x=
1
2

n
l

0
hớng vuông góc với dây và vật chuyển
động trên mặt phẳng ngang cuốn dây vào trụ.
Thiờn Cng
2
VT Lí HAY V KHể
Hỏi sau bao lâu dây cuốn hết trụ? Giả thiết
trong khi chuyển động dây luôn nằm ngang.
Bỏ qua ma sát và bề dày của dây.
Giải:
Ta nhận thấy ngay không có lực nào tác dụng vào vật sinh công, do vậy động năng của vật đợc
bảo toàn do vậy nó có vận tốc không đổi v
0
.
Tại một thời điểm nào đó dây có chiều dài l, xét một thời gian vô cùng bé dt vật đi đợc cung
AB:
=ld=v
0
dt.
Do

Rdl
=


d
=
R
dl
thế vào phơng trình trên ta đợc:

0
=

t
0



R
L
2
2

tv
0
=



Rv
L
t
0
2
2
=
.
Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là:
Rv
L

Giải:
Giả sử sau thời gian
t
khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất.
Khoảng cách đó sẽ là:


cos'..'2''
22
BBBABBBAd
+=




cos)(2)()(
21
2
2
2
1
tvtvltvtvld
+=
=
2
21
2
2
221
2

++
+
=


Thiờn Cng
3
VT Lí HAY V KHể
Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:
a
d
4
min

=

=
min
d
2
221
2
1
2
cos2
sin
vvvv




==
==


sin
cos
v
dt
dy
v
v
dt
dx
v
y
x
Lấy vế chia vế hai phơng trình trên và ta rút ra:dt
dy
dt
dy
dt
dx



(3)
Thay (1) vào (3) ta suy ra:

dt
dy
u


2
sin
=
(4)
Mặt khác:


sin
sin
v
dy
dtv
dt
dy
==
(5)
Thay dt từ (5) vào (4):


sin
d
dy

Thiờn Cng
4
VT Lí HAY V KHể







=
2
tanlnln

a
y
v
u
Suy ra
v
u
a
y






=


+






=
+








2
2
tan
2
tan
2
1

và

sinv
dy

=

a
y
d
a
y
a
y
v
a
dt
v
u
v
u
2
(*)
Lấy tích phân 2 vế phơng trình (*):












y
d
a
y
a
y
v
a
dt













+
+

=
v
u
v
u

Hỏi sau một thời gian đủ lâu thì hai tàu chuyển động trên cùng một đờng thẳng và khoảng cách giữa chúng
không đổi. Tính khoảng cách này ?
Đáp số:
2
a
.
Bài 6: Vật m
2
đang đứng yên trên mặt sàn nằm ngang nhẳn cách bờ tờng một khoảng d. Vật m
1
chuyển động tới va chạm hoàn toàn đàn hồi với vật m
2
(m
1
> m
2
), vật m
2
lại va chạm đàn hồi
với bờ tờng và gặp m
1
lần 2. Va chạm
lần 2 xảy ra cách bờ tờng một khoảng
Thiờn Cng
5
VT Lí HAY V KHể
là bao nhiêu?
Tìm điều kiện để điểm va chạm lần 2 cách điểm va chạm lần 1 một khoảng là d/2 ?
Giải :
Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.

vmvmm
v
+
+
=
=
1
21
21
v
mm
mm
+


( )
1
21
1
21
11212
'
2
22
v
mm
m
mm
vmvmm
v

2
thì nó vẫn có vận tốc nh cũ nhng đã đổi hớng
'
1
''
2
vv
=
.
Thế v
1
và v
2
từ trên vào (1) ta suy ra :

=
x

d
mm
mm
21
21
3

+
Để va chạm lần 2 cách lần 1 một đoạn
2
d
thì:

VT Lí HAY V KHể
Hãy xác định :
a. Vận tốc và gia tốc của hạt theo thời gian.
b. Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ vị trí x = 0 đến vị trí x.
Giải:
a. Theo đề bài :
xa
dt
dx
xav
==

hay
adt
x
dx
=
Nguyên hàm hai vế :

+==
catxdta
x
dx
2
Do
0
=
t
thì
0

''
2
2
x
dt
xd
w
==

2
2
a
w
=
b. Vận tốc trung bình
t
a
t
x
v
4
2
==

2
xa
v
=
Bài 8: Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc
0



=
Chiếu lên:
0x:
x
ma
=
0

0
=
x
a
0y:
y
maP
=

ga
y
=
Phơng trình chuyển động của vật theo hai trục ox và oy:






=


2
2
0
cos.
)cos.sincos..(sincos2
g
v
l

=



2
2
0
cos
)sin(.cos2
g
v
l

=



=
l
g

v
lx
==
hay

cos
3
2
.cos
2
0
0
g
v
tv
=
;
Suy ra thời gian chuyển động trên không của viên đá:



cos3
cos2
0
g
v
t
=
=
3

1
2
32
0
0
=

=
v
v
v
v
x
y


0
30
=

do
<=
32
0
V
v
y
0 nên lúc chạm mặt phẳng nghiêng
v




=
R

g
v
.33
2
2
0
Bài 9: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển động
nhanh dần đều. Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian
1
t
.
Hỏi toa thứ n đi qua ngời ấy trong thời gian bao lâu?
Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa.
Giải:
Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian t
1
:

2
2
1
at
s
=
a

1

n
t
:
Thiờn Cng
9
VT Lí HAY V KHể

( )
2
1
2
1

=
n
at
sn


a
Sn
t
n
)1(2
1

=


Trong các khoảng 3 giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc 2v
o
, 3v
0
, , nv
0
.
Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trên quảng đờng AB trong các trờng hợp :
a. s = 315 m ;
b. s = 325 m .
Giải:
Đặt:
)(3
1
st
=

Gọi quảng đờng mà chất điểm đi đợc sau
1
nt
giây là s:

n
ssss
+++=
...
21

Trong đó s
1

7,5n(n+1) = 315




=
=
7
6
n
n
(loại giá trị n=-7)
Thời gian chuyển động:

)(231
1
snntt
=+=
Vận tốc trung bình:
23
315
==
t
s
v

=
v
)/(7,13 sm
.

10
VT Lí HAY V KHể
Bài 11 : Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên hai đờng thẳng vuông góc với nhau cho v
1
= 30m/s , v
2
= 20m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật một giao điểm của
quỹ đạo đoạn S
1
= 500m, hỏi lúc đó vật hai cách giao điểm trên một đoạn S
2
là bao nhiêu?
Giải:
Gọi khoảng cách trên đầu của vật (1) và (2) tới vị trí giao nhau của hai quỹ đạo là d
1
và d
2
. Sau
thời gian t chuyển động khoảng cách giữa chúng là:

2
2211
)()( tvdtvdd
+=
=
2
2
2
12211
22

1
2211
111
)(
vv
dvdvv
vv
dvdv
vdS
+

=
+
+
=
Lúc đó:
tvdS
222
==
22
dS
2
2
2
1
12211
2

=

=
Vậy lúc hai vật có khoảng cách ngắn nhất thì vật thứ hai cách giao điểm trên một
đoạn
=
2
S

m750
.
Bài 12: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang đợc cần cẩu cẩu lên thẳng đứng lên
cao với gia tốc a = 0,5m/s
2
. Bốn giây sau khi rời mặt đất ngời ngồi trên mặt côngtenơ ném một hòn
đá với vận tốc v
0
= 5,4m/s theo phơng làm với mặt phẳng ngang côngtenơ góc
0
30
=

.
a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ
cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông
(coi nh một điểm) lấy g = 10m/s
2
.
Giải:


10

+=
vvv
Chiếu lên:
0x:
)/(7,486.04,5cos
0
smvv
x
==

Thiờn Cng
11
VT Lí HAY V KHể
0y:
)/(7,4
2
4,5
2sin
01
smvvv
y
=+=+=


1
=
x

Lúc đá rơi xuống đất: y = 0


057,410
2
=+
tt

t

s2

b. Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ:

===
2.7,4tvL
x

m4,9
.
Bài 13: Ngời ta đặt một súng cối dới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách vách
hầm một khoảng l bao nhiêu so với phơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất?
Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là
0
v
.
Giải:

gt
tvy
=

Phơng trình vận tốc:


cos
0
vv
x
=
;

gtvv
y
=

sin
0
Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 45
0
có
nghĩa là tại A:

0
cossin
v
g
tvv

0
h
gt
tv
ltv
hy
lx



Từ (2)

cos
0
v
l
t
=
(3) kết hợp với (1)
)cos.(sincos
2
0

=
g
v
l
(4)
Thay t từ (1) vào (3) ta đợc:


v
l

=
l

)
2
1
4
1
(
2
0
4
0
22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
+
Từ (1) :




gh
v
gh
v
gh
vvv
g
v
gh
v
gh
t
y
2
0
2
1
v
gh
v
y
=
)1()
2
1
()
2
1
()
2

v
gh
g
v
A
1.
2
1
2
0
2
0
2
+









=
Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:
)
2
1
4
1

+









.
Thiờn Cng
13
VT Lí HAY V KHể
Bài 14: Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đờng thẳng với một gia tốc mà độ lớn w
phụ thuộc vận tốc theo định luật
vaw
=
trong đó a là một hằng số dợng. Tại thời điểm ban đầu
vận tốc của hạt bằng v
0
.
Hỏi quảng đờng mà hạt đi đợc cho đến khi dừng lại và thời gian đi quảng đờng ấy ?
Giải:
Về độ lớn:
vaw
=
a. Về dấu ta có:

Catv

Khi chất điểm dừng lại thì v = 0:

0
2
v
a
t
=
(*)
Quảng đờng vật đi đợc cho đến lúc dừng lại:


+==
0)
2
0
2
2
00
2
0
)
4
.(
v
a
v
a
dtt
a

tầm xa của quả cầu(g = 10m/s
2
).
Giải:
Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A. Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó là v,
phản lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực

cosp
:


cos9cos
2
2
Rv
R
v
mp
==
(1)
Theo định luật bảo toàn năng lợng:

2
2
1
cos mvmgRmgR
+=

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

2
=
Theo đề bài
hR
<<
do vậy ban đầu ta xem
A

0
.
Chọn trục
xy'0
nh hình vẽ
A

'0
.






+=
=
2
2
1
.sin
.cos

2

gRv
vào phơng trình trên ta tìm đợc:








<
+
=
++
=
)(0
.33
541010
.33
541010
2
1
loai
g
ghgRgR
t
g
ghgRgR

( )
ghgRgR
g
R
541010
2
27
2
++
.
Bi 16: Mt cht im chuyn ng chm dn trờn bỏn kớnh R. sao cho ti mi im gia tc tiộp
tuyn v gia tc phỏp tuyn luụn cú ln bng nhau. Ti thi im ban u t=o, vn tc ca cht im
ú l
0
v
.
Thiờn Cng
15
VẬT LÝ HAY VÀ KHÓ
Hãy xác định:
a. Vận tốc của chất điểm theo thời gian và theo quãng đường đi được.
b. Gia tốc toàn phần theo vận tốc và quãng đường đi được.
Giải:
a. Theo đề bài ta có:

R
v
dt
dv
aa

⇒
=v
t
R
v
v
0
0
1
+
từ (1)
R
ds
v
dv
=−⇒
(2) (ds = vdt )
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2):

R
s
v
v
R
ds
v
dv
Sv
v
=−⇔=−

2
2
R
v
Gia tốc toàn phần theo quãng đường đi được:

=
a

2
.
2
2
0
R
ev
R
s
−
.
Bài 17: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến sát vòng
kia với vận tốc
0
v

. Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách giữa hai tâm
d
=
21
00

22
0
R
d
RRRACy
d
tv
RADDx
αα
Ta có:

0
' vd
−=
Ta suy ra:








−
=
=
4
4
2
22

2
1
dR
vd
dR
dd
v
v
dv
Cy
Cx

( )
2
22
0
2
0
22
.
42
.
2
dR
dvv
vvv
CyCx
−
+




−=

10
2112
=+=⇒
vvv
(m/s).
Thời gian từ ban đầu đến lúc vật (1) và vật (2)
gặp nhau là:
10
10
100
12
===
v
AB
t
(s)
Thiên Cường
17