§Ò tµi : TÝnh chia hÕt trong vµnh sè nguyªn “ ”
Häc viªn : T« ThÞ Léc Líp To¸n khãa 2 - §HSPHN, T¹i chøc Trang–
1
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
Mục Lục
Trang
Phần I : Mở đầu ........ 02
1.Lý do chọn đề tài .02
2.Mục đích nghiên cứu 02
3.Nhiệm vụ nghiên cứu 03
4.Phạm vi và đối tợng nghiên cứu ..03
5.Phơng pháp nghiên cứu 03
Phần II : Nội dung ...... ...03
Chơng I : Cơ sở lý luận và mục đích của đề tài 03
Chơng II : Các biện pháp tiến hành .03
I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ ..03
II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải ....08
III. Giúp đỡ học sinh tìm tòi một số lời giải bài toán ...13
Chơng III : Thực nghiệm s phạm 14
A. Mục đích thực nghiệm .14
B. Nội dung thực nghiệm .14
C. Kết quả thực nghiệm 17
D. Bài học kinh nghiệm ....19
E. Điều kiện áp dụng 19
F. Vấn đề còn hạn chế bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu ...19
Phần III : Kết luận 20
Tài liệu tham khảo . ...20
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
2
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
Phần i: mở đầu

hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học về tính chia hết trong vành số nguyên
Tìm hiểu mạch kiến thức về tìm ƯC, ƯCLN, BC, BCNN thuật toán Ơclit trong vành số
nguyên Z
Điều tra về thực trạng:
Thờng xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến ƯC, ƯCLN, BC, BCNN
trong SGK vàSBT
Thờng xuyên kiểm tra đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh. Qua đó nhận ra
những khuyết điểm, những sai lầm mà các em hay mắc phảI đối với các bài
toán về ƯC, ƯCLN, BC, BCNN để tìm hớng khắc phục, tìm ra những phơng pháp phù
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
3
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
hợp giúp nâng cao chất lợng giảng dạy.
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
Khi viết đề tài này tôI đã nghiên cứu tại trờng THCS Văn Lang Hạ Hòa Phú Thọ
đối với học sinh đại trà
Phạm vi : 35 em học sinh lớp 6A
5. Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phơng pháp thực nghiệm s phạm
Phần hai : nội dung
Chơng I : cơ sở lý luận và mục đích của chuyên đề
Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định nghĩa,
các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất chia hết
có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào. Các em còn cần đợc mở rộng một số dấu
hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN. Từ đó các em phải nắm đợc
phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có liên quan.
Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và cóphơng
pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có đợc kỹ năng này các em sẽlàm đợc các

Chứng minh: mệnh đề khẳng định rằng:
ab = 1 a = b =1 hoặc a = b = -1.
Thật vậy từ giả thiết ab = 1 suy ra ab =a.b = 1. Do a 0 nên a
1 Cũng nh vậy b 1 Từ đó a=b =1 ,bởi vậy
a = b= 1 hoặc a = b = -1.

*Hệ quả 2: Nếu hai số nguyên a và b chia hết lẫn nhau thì a = b.
Chứng minh: Do a b và ba nên tồn tại các số nguyên u ,v sao cho
a = bu, b = av . từ đó a = a(uv). Do a 0 nên
uv = 1 u = 1 a = b .
2. Phép chia với d:
2.1 Định lí 3: Cho hai số nguyên a và b , b 0 .Khi đó tồn tại duy nhất cặp số
nguyên q, r sao cho :
a = bq + r , 0 r < b.
Chứng minh:
a, Sự tồn tại.
Gọi M là tập hợp tất cả các bội của b không vợt quá a,
M = { bx bx a, x Z }
Tập hợp M vì:
- ba -a a - ba M.
Tập M bị trặn trên nên nó có số lớn nhất . Chẳng hạn số đó là bq .Do số nguyên
bq + b cũng là bội của b nêntừ tính lớn nhất của bq trong M ta có
bq a < bq + b
Từ đó:
0 a - bq < b .
Đặt r = a - bq ta có
a= bq + r ; 0 r < b
Là điều phải chứng minh.
b,Tính duy nhất:
Giả sử có : a = bq +r = bp +s , 0 r ; s < b .

điều này có nghĩa là nếu d là ớc chung của b và c thì d cũng là ớc chung của
b và ac . Nh vậy tập hợp các ớc chung của ac và b trùng với tập các ớc chung của
c và b .Bởi vậy
(ac,b) = (c, b).
4. Thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN
Để tìm ƯCLN của hai hay nhiều số tự nhiên ta thờng sử dụng tính chất sau;
a = bq + c (a,b) = (b,c)
( Lu ý rằng ở đây không đòi hỏi 0 < r < b)
Thuật toán Ơclít đợc tiến hành nh sau:
- Nếu a= bq thì (a,b) = b.
- Nếu a không chia hết cho b thực hiện liên tiếp các phép chia với d ta đợc
a = bq + r . 0 < r < b
b = rq + r , 0 < r < r
.......................................
r = rq + r , 0 < r < r
r = rq
Dày phép chia này phải là hữu hạn , vớu phép chia cuối cũng là một phép chia hết.
Theo nhận xết ban đầu ta đợc

Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
6
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
( a,b) = (b,r) = ... = ( r , r ) =r
nghĩa là ƯCLN của a và b bằng số d cuối cùng r trong thuật toán nói trên.
Bây giờ việc tìm ƯCLN của n số ( n > 2) sẽ đợc tính theo công thức truy hồi:
( a ,a , ,a) =( ( a ,a , ,a ), a )
4. Bội chung - Bội chung nhỏ nhất:
a) Số nguyên m đợc gọi bội chung của các số nguyên a ,a , ,a
( n 2 ) nếu nó chia hết cho mỗi số nguyên đó.
b) Bội chung m của các số nguyên a ,a , ,a đ ợc gọi là bội chung nhỏ

7
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
m = là ớc của ak = k. điêù này chứng tỏ m là bội chung nhỏ nhất của a
và b , nghĩa là
= [a, b] .
Bội chung nhỏ nhất của n số ( n > 2) đợc tính theo công thức
[ a , a , ,a ] = [ [ a , a , ,a] , a ].
Trong nhiều trờng hựp BCNN của nhiều số còn dợc xác định nhờ tính chất sau:
m = [ a , a , ,a ] [ , , , ] = 1
-Đối với học sinh :Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng
cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan,
đó là:
1/Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a và b (b 0). Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên
q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia hết cho b.
2/ Các tính chất về chia hết :
* Tính chất chung :
a) Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
b) Mọi số a 0 đều chia hết cho chính nó.
c) Tính chất bắc cầu : Nếu ab, bc thì a + c.
+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
d) Nếu am, bm thì tổng a + bm, a - bm.
+ Hệ quả :
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và am thì bm.
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và bm thì am.
e) Nếu am, bm thì a + bm, a - bm ;
Nếu am, bm thì a + bm, a - bm.
f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
+ Hệ quả: Nếu am thì a
n