K THI KHO ST CHT LNG ễN THI I HC KHI A - B D. Nm 2010.
Mụn thi: Toỏn. Thi gian lm bi: 180 phỳt.
Ngy 20 thỏng 12 nm 2010.
A. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im)
Cõu I. (2 im)
Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cú th l (C
m
); ( m l tham s)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2. Xỏc nh m (C
m
) ct ng thng y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1), D, E sao cho cỏc tip tuyn ca
(C
m
) ti D v E vuụng gúc vi nhau.
Cõu II (2 im)
1.Gii phng trỡnh:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos
+

+

.
Cõu IV. (1 im)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =
3
2
a
và góc BAD = 60
0
. Gọi M và N
lần lợt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính
thể tích khối chóp A.BDMN.
Cõu V. (1 im)
Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món
1a b c
+ + =
. Chng minh rng:
7
2
27
ab bc ca abc+ +
.
B. PHN RIấNG (3 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc 2)
1.Theo chng trỡnh Chun
Cõu VIa. ( 2 im)
1. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC bit A(5; 2). Phng trỡnh ng trung trc cnh
BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y 6 = 0 v 2x y + 3 = 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc
ABC.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, hóy xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam

v im
A(-2 ; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng

, i qua im A v tip xỳc vi ng
thng

.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vit phng trỡnh
mt phng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Cõu VIIb. (1 im)
Gii h phng trỡnh :
2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) = 1
x y
x y
xy x y x x
y x
+
+

+ + + + =


+ +


,

1 1 2 2
9 4 0, (0) 0
(3 6 )(3 6 ) 1.
m f m
x x m x x m
− > = ≠


+ + + + = −

2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9
9
, 0
, 0
4
4
9( ) 18 ( ) 3 ( ) 36 6 ( ) 1
4 9 1 0
m m
m m
x x x x x x m x x x x m x x m
m m


< ≠
< ≠
 

0y ≠
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2
1
( ) 2 7
x
x y
y
x y xy y
y x y x y
x
x y
y

+
+ + =


+ + + =

⇔

  
0.25
+) Với
3, 1v u= =
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
  
+ = + = + − =

⇔ ⇔ ⇔
  

= − =
+ = = − = −

  
.
0.25
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:

e e e
x
x x xdx
I dx dx
x
x x x x x
 
 ÷
 
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
0.25
Đặt
2 2 2
1 1
1 3ln ln ( 1) ln .
3 3
dx
x t x t x tdt
x
+ = ⇒ = − ⇒ =
. Đổi cận … 0.25
Suy ra
( )
( )
2
2 2
3
2

 
= − =
 ÷
 
0.25
IV Chứng tỏ AC’
⊥
BD 0.25
C/m AC’
⊥
PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN. Suy ra AC’
⊥
(BDMN) 0.25
Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’. Nếu dùng cách hiệu các thể tích 0.25
thì phải chỉ ra cách tính.
Tính đúng diện tích hình thang BDMN . Suy ra thể tích cần tìm là:
3
3
16
a
.
0.25
V
Ta có
2 ( ) (1 2 ) (1 ) (1 2 )ab bc ca abc a b c a bc a a a bc+ + − = + + − = − + −
. Đặt t= bc thì ta
có
2 2
( ) (1 )
0

 
−
 
= − + − ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
với mọi a
[ ]
0;1∈
0,25
Vậy
7
2
27
ab bc ca abc+ + − ≤
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 0.25
VIa. 1.
Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) lµ trung ®iÓm cña BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). V× C’ lµ trung ®iÓm cña AB nªn:
2 5 11 2 2
' ; '
2 2
m c m c
C CC
− + − −
 
= ∈

− + =
 


0.5
Täa ®é cña B =
19 4
;
3 3
 
−
 ÷
 
0.5
2.
Ta có:
(2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC= − =
uuur uuur
Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB,
AC là:
1 0, 3 0.x y z y z+ − − = + − =
0.25
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là
, (8; 4;4).n AB AC
 
= = −
 
r uuur uuur
Suy ra (ABC):
2 1 0x y z− + + =

z i z i= − = +
0.5
Suy ra
2
2
1 2 1 2
3 2 22
| | | | 1 ; 2
2 2
z z z z
 
= = + = + =
 ÷
 ÷
 
0.25
Đo đó
2 2
1 2
2
1 2
11
...
4
( )
z z
z z
+
= =
+

M(x; y; z) MA = MB = MC
⇔
…. 0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25
VII
b
+ Điều kiện:
2
2 2 0, 2 1 0, 5 0, 4 0
( )
0 1 1, 0 2 1
xy x y x x y x
I
x y

− − + + > − + > + > + >

< − ≠ < + ≠

. 0.25
1 2 1 2
1 2 1 2
2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1)
( )
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1(2).
x y x y
x y x y
x y x y x
I
y x y x

2
1 1 1
4 4
log ( 4) log ( 4) = 1 log 1 1 2 0
4 4
x x x
x x
x x x x x
x x
− − −
− + − +
− + − + ⇔ = ⇔ = − ⇔ + =
+ +
0
2
x
x
=

⇔

= −

. Suy ra:
1
1
y
y
= −
