Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
§1. SỐ PHỨC
Số tiết : 3LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Khái niệm số phức :
• Tập hợp số phức :
£
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b
∈
R, i đơn vị ảo, i
2
= −1) ; a là phần thực, b là phần
ảo của z.
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0.
• z là số ảo
⇔
phần thực của z bằng 0.
• Hai số phức bằng nhau :
a + bi = c + di
⇔

a c
b d

=

=

(a, b, c, d

• z biểu diễn bởi
u
r
, z’ biểu diễn bởi vecto
'u
ur
thì : z
±
z’ biểu diễn bởi
u
r

±

'u
ur
.
4. Phép nhân số phức :
• (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
k là số thực, z biểu diễn bởi vecto
u
r
thì kz biểu diễn bởi k
u
r
.
• Tính chất :
o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’
∈
£

2 2
.z a b z z OM= + = =
uuuur
o
0, ; 0 0z z z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =£
o
' . ' , ' 'zz z z z z z z= + ≤ +
với mọi z, z’
∈
£
.
6. Phép chia cho số phức khác 0 :
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
85
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
• Số phức nghịch đảo của z (z ≠ 0) là
1
2
1
z z
z
−
=
• Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) :
1
2
' '. '.
'.
.
z z z z z

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.
Giải:
a) Vecto
OM
uuuur
biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto
'OM
uuuur
biểu diễn số
phức z’ = 2 + i
b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi
vecto
OP
uuur
.
z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi
vecto
OQ
uuur
.
Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i.
(2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5.
(2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i.
(bi)
2
= b
2
.i
2
= −b

+ a
2
= (z + ai)(z – ai).
Ví dụ 5: Tính :
2 2
3 (3 )(1 ) 2 4
1 2
1 (1 )(1 )
1 1
i i i i
i
i i i
− − − −
= = = −
+ + −
+
( )
2
2
2
2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2
6 3
2 2 ( 2 2 )( 2 2 )
2 2
i i i i i i
i i i
+ + + + − + − +
= = = =
− − +
+

=
 ÷
 ÷
 
 
nên E biểu diễn
số phức
3 1
2 2
i+
; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức
3 1
2 2
i− +
; F biểu diễn số phức
3 1
2 2
i−
; B biểu diễn số phức
3 1
2 2
i− −
.
4. Thực hiện phép tính :
2 2
1 2 3 2 3
2 3 13
2 3
i i
i

i i i i
i
− − + −
= =
− +
5. Cho z =
1 3
2 2
i− +
. Hãy tính :
2 3 2
1
; ; ; ( ) ; 1z z z z z
z
+ +
.
Giải:
2
1 3
1 1 3
2 2
1 3
2 2
.
4 4
i
z z
i
z
z z

.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = −
z
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' 'z z z z+ = +
,
' . 'zz z z=
và nếu z ≠ 0 thì
' 'z z
z
z
 
=
 ÷
 
.
Giải:
a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒
z
= a – bi.
⇒ z +
z
= 2a ⇒ a =
1
( )
2
z z+
z -
z

+
'z
.
Tương tự cho các đẳng thức còn lại.
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có :
i
4m
= 1 ; i
4m+1
= i ; i
4m+2
= −1 ; i
4m+3
= −i.
Giải:
i
4m
= (i
4
)
m
= (−1)
2m
= 1
m
= 1 ; i
4m+1
= i
4m
.i = i

thì
1 2 2 1
A A z z= −
uuuur
.
b) Với mọi số phức z, z’, ta có
. ' . 'z z z z=
và khi z ≠ 0 thì
'
'
z
z
z z
=
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' 'z z z z+ ≤ +
.
Giải:
a) Ta có : z = a + bi ⇒
2 2
z a b= +
, và
u
r
biểu diễn số phức z thì
u
r
nên độ dài vecto
u

2 2 2
. ' . 'z z z z=
và với z ≠ 0 thì :
2 2 2
'
' '. 1 1
'. ' .
z
z z z
z z z z
z z
z z z
= = = =
c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I
⇒
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 2( ) 2 ( )( )z z a b c d ac bd a b c d a b c d+ = + + + + + ≤ + + + + + +
=
(
)
( )
2
2
2 2 2 2
'a b c d z z+ + + = +
⇒
' 'z z z z+ ≤ +
9. Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a)

Vậy z là số thực.
c) Ta có :
3 4z z i
= − +
⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
88
Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr
a
2
+ b
2
= (a 3)
2
+ (4 b)
2
6a + 8b 25 = 0. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z l mt
ng thng.
LUYN TP
10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú :
1 + z + z
2
+ . . . + z
9
=
10
1
1
z
z

z z
z z z z

+
+ +
Gii: Gi z = a + bi
z
= a bi.

2 2 2
( ) ( ) 2 .z z z z z z+ = +
l s thc. Vỡ z +
z
l s thc v z.
z
l s thc.
z -
z
l s o v z
3
+ (
z
)
3
= (z +
z
)[(z +
z
)
2

l s o.
12. Xỏc nh tp hp cỏc im trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng iu kin sau:
a) z
2
l s thc õm b) z
2
l s o
c) z
2
= (
z
)
2
d)
1
z i
l s o.
Gii:
a) z
2
l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn trc o (Oy), tr
im O
b) Gi z = a + bi z
2
= a
2
b
2
+ 2abi l s o a
2

13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau :
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)
z
- 4 = 0
d) (iz 1)(z + 3i)(
z
- 2 + 3i) = 0 e) z
2
+ 4 = 0.
Gii:
a) z =
2
1 2
i
i
i

= +
b) z =
1 1 3
1 3 10 10
i
i

= +
+
Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp
89
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
c)

( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2
( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
+ + + + + − − + −
= = = +
− + −
+ − + − + −
z i x y i x y i x y i x y x
i
z i x y i
x y x y x y
Vậy phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
và phần ảo là
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
b)
z i
z i
+

⇔
 
< − >
+ − >



Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn
số −i).
15. a) Trong mp phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z
1
, z
2
,
z
3
. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z
1
, z
2
, z
3
thỏa mãn :
z
1
 = z
2
 = z
3

thỏa mãn z
1
 = z
2
 =
z
3
 ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là điểm O cách đều 3 điểm A, B, C hay 3 điểm đó nằm trên
đường tròn tâm O (gốc tọa độ).
A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z
1
+ z
2
+ z
3
= 0 (theo a)).
16. Đố vui. Trong mp phức cho các điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z
không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có
phải là hai tam giác đồng dạng không ?.
Giải:
Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’.
Và :
z' z.z' z.z'- z'
OA' OB' A'B'
= = z' , = = z' , = = z'
OA 1 OB AB
z z -1
Do đó hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là z’.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp

.
2. Phương trình bậc hai :
Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0)
• Tính ∆ = B
2
– 4AC
• ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
(
2
B
A
δ
δ
− ±
là một căn bậc hai của ∆)
• ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z
1
= z
2
=
2
B
A
−
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của :
a) −1 b) −a



− = −
 
= −

⇔
 
=



=


Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i.
d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i
⇔
2 2
2
0
2
2 1
1
2
x
x y
xy
y
x

Giải:
a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là :
3i
.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z
1
=
1 3
2
i+
và z
2
=
1 3
2
i−
b) Ta có : ∆ = (i – 2)
2
– 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i)
2
( hay ta đi tìm một căn bậc 2 của ∆).
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z
1
=
2
2 -i - 2 -i
z = = i
2
2 2
2,

2
 = z
2
= w ⇒ z =
2
z = w
.
19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau :
a) z
2
= z + 1 b) z
2
+ 2z + 5 = 0 c) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
Giải:
a) z =
1 5
2 2
±
b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/
20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc
hai với hệ số phức không ? Vì sao ?
b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z
2
+ Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?Điều ngược lại có đúng
không ?
Giải:

2
là 2 số phức liên hợp thì z
2
=
1
z
.
Theo công thức Vi-ét, B = −(z
1
+ z
2
) = −(z
1
+
1
z
) là số thực và C = z
1
.z
2
= z
1
.
1
z
là số thực.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
92