<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK</b>
<b>TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG</b>

<b>KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 10-3 LẦN THỨ IV NĂM 2019</b>
<b>ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN:TỐN. LỚP:10</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN</b>
<b>Câu 1: (4,0 điểm)</b>

Giải phương trình sau:16<i>x</i>2 33<i>x</i> 7 2(7 <i>x</i> 6) <i>x</i>2 2<i>x</i> 0 .

<b>Đáp án câu 1:</b>

<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>

<b>1</b>

Xét phương trình: 16<i>x</i>2 33<i>x</i> 7 2(7 <i>x</i> 6) <i>x</i>2 2<i>x</i> 0 (1)
Điều kiện: <i>x</i> 2 <i>x</i>0

Ta có: 1  4(<i>x</i>2 2 ) 2<i>x</i>  <i>x</i>2 2<i>x</i>12<i>x</i>2 25<i>x</i> 7 0

0,5

Đặt <i>t</i> <i>x</i>2 2 (<i>x t</i>0)Phương trình đã cho trở thành

2 2

4<i>t</i>  2(7<i>x</i> 6)<i>t</i>12<i>x</i>  25<i>x</i> 7 0
4 1

<i>t</i> 

ta được

2 ₂ 4 1

2
<i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  

Giải phương trình ta được

4 13

6

<i>x</i> 

1,0

Với

3 7

2
<i>x</i>

<i>t</i> 

17 2 11
5

<i>x</i> 

0,5
<b>Câu 2: (3,0 điểm)</b>

<i>Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm</i>

',

<i>A</i> <i>_B</i>_'_và<i>C</i>'._Gọi<i>Sa</i>, <i>Sb</i>, <i>Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB C</i>' ', <i>BC A</i>' ',

' '

<i>CA B</i> <i>_{và ABC. Chứng minh bất đẳng thức}</i>

3
.
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>S</i>  <i>S</i>  <i>S</i>  <i>S</i>

Dấu đẳng thức xảy ra khi
nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 3:</b>

<b>3</b> Ta có:

2 2

2 2

1 1 2 2

<i>a</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>b</i>   <i>b</i>   <i>b</i>  

 

1,0
Hồn tồn tương tự ta có

2

1 2

<i>b</i> <i>bc</i>

<i>b</i>

<i>c</i>  

2 2 2 3

1 1 1 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ac</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

 

 

   _{  } _

    

1,0

<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>

<b>2</b> Ta có các cơng thức tính diện tích:
2<i>S_a</i> <i>AC AB</i>'. 'sin ; 2<i>A</i> <i>S</i><i>AB AC</i>. sin<i>A</i>

Suy ra

' ' 1 ' '

2

<i>a</i>

2

<i>c</i>

<i>S</i> <i>CB</i> <i>CA</i>

<i>S</i> <i>CA</i> <i>CB</i>

 

 _  _

 

1,0

Do đó:

1 ' ' ' ' ' ' 3

2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>AC</i> <i>BC</i> <i>BA</i> <i>CA</i> <i>CB</i> <i>AB</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>AB</i> <i>BA</i> <i>BC</i> <i>CB</i> <i>CA</i> <i>AC</i>

 


 _
' ' //
' '//
' ' //
<i>C B BC</i>

<i>A C CA</i>
<i>B A AB</i>






 <i>_{ A’, B’, C’ là trung}</i>
<i>điểm của BC, CA, AB.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Mặt khác , ta chứng minh được :
2

( )

3
3

<i>a b c</i>

<i>ab bc ca</i>      0,5

0,5

Đặt

2 2 2

2 2 2 2

(9 16)(16 9) 144 (9 16 ) 144
(12 ) (9 16 ) 12

<i>n</i>

<i>T</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

      

   

Ta có (12<i>n</i>12)2 (12 )<i>n</i> 2(9216 )2 <i>n</i>122 (12<i>n</i>15)2
Vậy <i>Tn</i> (12<i>n</i>13)2 hoặc

2

(12 14)

<i>n</i>

Với <i>Tn</i> (12<i>n</i>14)2ta có

2 2 2 2 2

(12 ) (9 16 ) 12 (12 14)

337 144 336 196

52

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

    

   

 

Khi n = 52 thì <i>T n</i> 292

Vậy n = 1, n = 52 thỏa mãn yêu cầu bài toán

1,0

<b>Câu 5 ( 3 điểm)</b>

Do đó đây là 2 số cần tìm vì nếu hai số này có số dư bằng nhau thì
hiệu của chúng sẽ chia hết cho 4034, cịn nếu chúng có số dư khác
nhau thì tổng của chúng sẽ chia hết cho 4034.

0,5

<i><b> Câu 6 (3 điểm). Tìm tất cả các hàm số </b></i> <i>f</i> :* * thỏa mãn:
<i>f m f n</i>(  ( )) <i>n f m</i>( 2019) <i>m n</i>,  *

<b>Đáp án câu 6:</b>

<b>Câu</b> <b>NỘI DUNG</b> <b>Điểm</b>

<b>6</b> _{Giả sử tồn tại các hàm số} <i>_f</i> _: * *


  _{thỏa mãn:}

<i>f m f n</i>(  ( )) <i>n f m</i>( 2019) <i>m n</i>,  *
Ta chứng minh f là đơn ánh. Thật vậy

Giả sử <i>f n</i>( )1 <i>f n</i>( )2 <i>n n</i>1, 2 *
Khi đó

1 2

1 2

1 2

<i>f</i>  <i>f</i>   <i>f</i> 

Thay m = 2019, n bởi n + 1 ta được

(2019 ( 1)) 1 (2019 2019)

<i>f</i>  <i>f n</i>   <i>n</i> <i>f</i> 

Suy ra <i>f</i>(2019 <i>f n</i>( 1)) <i>n</i> <i>f</i>(2019<i>f</i>(1))

Mặt khác thay m bởi f(1) ta được

( (1) ( )) ( (1) 2019) (2019 ( 1))

<i>f f</i> <i>f n</i>  <i>n</i> <i>f f</i>  <i>f</i> <i>f n</i>

Do f là đơn ánh nên

(1) ( ) 2019 ( 1)

( 1) ( ) (1) 2019

<i>f</i> <i>f n</i> <i>f n</i>

<i>f n</i> <i>f n</i> <i>f</i> <i>a</i>

   

     

Với a = 1. <i>f n</i>( ) <i>n</i> 2019

</div>

<!--links-->

---