ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề )
Câu 1(4đ): Cho biểu thức:
A =
2
4 4x x x− − +
a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b. Rút gọn biểu thức A.
Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức:
A =
3 3
7 5 2 7 5 2+ + −
Câu 3(4đ): Cho hàm số
y =
2 2
2 1 2 1x x x x+ + − − +
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y.
Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường
tròn nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự
tại M,N. Chứng minh rằng:
a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.

⇔ ≥
b. Nếu
x 2≥
thì
( 2) 2x x− − =
Nếu
1 x
≤
<2 thì
( ( 2)) 2x 2x x− − − = −
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
2

3
3
3
3
7 5 2
1 3 2 6 2 2
(1 2)
1 2
+
= + + +
= +
= +

≥
1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2
Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1.
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ y
2

-1 o
1 x

-2
b. Trên đồ thị ta thấy:
min y = -2
1x⇔ ≤ −
;
max y = 2
x⇔
> 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4
a

+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd

⇔
a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c

0,5 đ
5
Gt
ABCV
có BC = a, AC = b, AB = c
(I) nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I
cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N.
Kl a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =

0,25 đ
A
Vẽ hình. M
â B N C
a. Ta có
·
·
·


AIBV
nên:

AM AI
AI AB
=

⇒
IA = AM.AB = m.c
2
AI m
bc b
⇒ =
(1).
Tương tự
2
IB n
ca a
=
(2)
Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC
2
= CM
2
– IM
2
.
Do IM
2

0,5 đ
0,5 đ

I