1. Thiết diện của hình chóp
1.1. Thiết diện qua ba điểm cho trớc
1.1.1.Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp
Cách giải:
Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trớc.
Xác định giao điểm của đờng thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng chứa
nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại
Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trớc để xác định mặt phẳng cắt các
cạnh của hình chóp
* Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào
của hình chóp để dễ xác định
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SA,
BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là trung điểm của
SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A; B; D nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD. Xác định
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đờng thẳng CD lấy
điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng
(HKM).
Bài 5: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên
trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt phẳng (MNQ)
Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện của hình
chóp với mặt phẳng (BMN)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M , trên SB lấy
điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (DMN).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lợt là trung điểm của AB và
AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a. Gọi M là
trung điểm AB . Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số diện tích thiết diện với BCD
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt

với mặt phẳng thiết diện.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F ,M là trung điểm của BD , CD và BC. Trên AE, AF lấy hai điểm
I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F là trọng tâm của các tam giác SBC, và SCD. M là trung điểm
của SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lợt nằm trong tam giác BCD và tam
giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . M là trung điểm của SA, N và P lần lợt là trọng tâm các tam giác
SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
1.1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau
Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm
nào.
Xác định giao điểm của đờng thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao điểm
của đờng thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh BD, BC, CD. Trên AE, AF, AG lấy các
điểm M,N,P sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD). Xác định thiết diện
với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với
mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P biện luận nghiệm hình của bài toán.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy các điểm M,N,P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh
nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm
hình của bài toán.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh
2
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm

M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
3
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
1.2.Thiết diện song song
Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đờng thẳng
chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đờng thẳng tơng ứng và
tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp.
1.2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đờng thẳng
Xác định mặt phẳng chứa một điểm đờng cho trớc, xác định đờng thẳng đi qua điểm và song song
với đờng cho trớc qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp
1.2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt
Dựng các đờng thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trớc với các mặt bên với điều
kiện các đờng thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trớc. Xác định các giao điểm với các
cạnh của hình chóp với các đờng thẳng đợc xác định.
1.2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đờng thẳng chéo nhau
Từ các điểm đã cho lần lợt dựng các đờng thẳng song song với hai đờng thẳng chéo nhau với điều
kiện các đờng thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh
Các bài tập minh hoạ cho thiết diện song song
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD, là mặt phẳng qua MN và song
song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD, là mặt phẳng qua MN và
song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ().
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của
CD. Giả sử AB CD , mp() qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD.
Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì ?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác

cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song
song với (MNE) cắt hìh chóp.
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các
cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với
mp(AMN) cắt hình chóp.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao
điểm các đờng chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi
qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC , M là một điểm
di dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua CM và song song với BC. Xác định thiết diện mà
() cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình hành ?
Bài 18: Cho tứ diện ABCD gọi G
1
; G
2
; G
3
lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Tìm
thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G
1
G
2
G
3
1.3.Thiết diện vuông góc
1.3.1.Thiết diện qua một điểm cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng
Mặt phẳng đợc xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề đó mặt phẳng
cũng đợc xác định khi biết hai đờng thẳng cắt nhau, hai đờng thẳng song song với nhau, biết một
điểm thuộc nó và một đờng thẳng vuông góc với nó. Do vậy mặt phẳng đợc xác định khi biết một
điểm thuộc nó và một đờng vuông góc với nó cho ta xác định đợc một mặt phẳng đi qua một điẻm