UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
a. Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A =
6432
32
+++
+
b. Thực hiện tính giá trị của biểu thức B =
x
x
x
x
242
22
242
22
−−
−
+
++
+
với x =
2
3
Bài 2: (3.0 điểm)

Bài 3:(3.5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh
AC và điểm H thuộc cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P ≠ H).
a. Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn.
b. Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q.
Chứng minh AQ song song với BC.
c. Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của
tam giác ABC. HP cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN.
Bài 4:(2.0 điểm)
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh:
a. p
2
- 1 chia hết cho 6.
b. p
4
- 1 chia hết cho 48.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
21
1
)21)(32(
32
)32(232
32

3
)342)(32(
−+−
+
−
+−+
0,25
Thực hiện nhân và rút gọn:
3
343323424343323424
−−−−++++−++−
3
3432
3
3432
34344
−
+
+
+−+++−=
=
4)
3
32
1(1328
−++
0,25
.
Bài 2: (3.0 điểm)


0,25
Được:



=−−
=−−
01
012
yx
xy
hoặc



=−−
=−−
01
012(
yx
xy
0,25
Giải hệ:



=−−
=−−
01
012

12
1
1
2
−=−−−+
0,25
⇔
021
22
=−−+−
xxxx
⇔ (
xx
−
2
-1)
2
= 0
0,25
⇔
xx
−
2
-1=0. ⇔ x
2
- x - 1 = 0.
0,25
Giải phương trình được x
Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm.
0,25

= (x+y)( (x
2
+ y
2
)
2
- 2x
2
y
2
- xy((x+y)
2
-2xy) + x
2
y
2
)
= (x+y)(((x +y)
2
-2xy)
2
- 2x
2
y
2
- xy((x+y)
2
-2xy) + x
2
y

+ x
2
y
2
= 1 - 5xy + 5x
2
y
2
0,25
Đặt t = xy ta được phương trình :
5t
2
- 5t + 1 = 11 ⇔ t
2
- t - 2 = 0
Giải phương trình được : t
1
= -1; t
2
= 2
0,25
Giải các hệ:



−=
=+
1
1
xy







+−
2
51
;
2
51
0,25
Bài 4: (3.5 điểm)
- Tứ giác MBHP nội tiếp ⇒ ∠MPH + ∠MBH = 180
0
- Tứ giác NCHP nội tiếp ⇒ ∠NPH + ∠NCH = 180
0
- Cộng được ∠MPH +∠ NPH + ∠MBH + ∠NCH = 360
0
.
- Thay ∠MPH + ∠NPH = 360
0
- ∠MPN và ∠MBH + ∠NCH = 180
0
- ∠MAN
vào được:
360
0
- MPN + 180

0,25
0,25
0,25
Bài 4:(2.0 điểm)
- p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ ⇒ p
2
lẻ ⇒ p
2
- 1 chẵn ⇒ p
2
- 1 chia
hết cho 2.
- p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3k± 1
- p
2
- 1 = 9k
2
. ± 6k = 3(3k
2
± 2k) ⇒p
2
- 1 chia hết cho 3.
- Do (2,3) = 1 nên p
2
-1 chia hết cho 6.
0,25
0,25
0,25
0,25
- p

- 1 chia hết cho 24 ⇒ (p
2
-1)(p
2
+ 1) chia hết cho 48.
0,25
0,25
0,25
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1:(2.0 điểm)
a. Chứng minh bất đẳng thức: (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax + by)
2
. Dấu “=” xảy ra
khi nào?
b. Cho hai số x, y thỏa 2x + 5y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = x

với AD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại F. Xác
định vị trí điểm D để
CFBE
AD
.
2
đạt giá trị lớn nhất.
b. Đặt a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh BC, AC, AB và x, y, z lần lượt là độ dài
ba phân giác AD, BM, CN của tam giác ABC. Chứng minh:
cbazyx
111111
++>++
.
Bài 5:(1.5 điểm)
Tam giác vuông ABC có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi. Hãy tìm số đo các cạnh.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán