Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 5)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bi 1 (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau:
1.
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + =
2. x
4
- 2y
4
x
2
y
2
4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (vi x ; y nguyờn)
Bi 2: (3.0 im)
Cn bc hai ca 64 cú th vit di dng nh sau:
64 6 4= +
Hi cú tn ti hay khụng cỏc s cú hai ch s cú th vit cn bc hai ca chỳng di
dng nh trờn v l mt s nguyờn? Hóy ch ra ton b cỏc s ú.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a
3
+b

19b - a 19c - b 19a - c
+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a

Ht./.
1
Hớng dẫn chấm: đề số 5
Bài ý Nội dung điểm
Bài 1 1.1
2đ
iu kin :
2
2
2 2
4 0 (1)
16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y






+


2y
2
5)(x
2
+ y
2
+1) = 0

x
2
2y 5 = 0

x
2
= 2y
2
+ 5

x l
0,5
t x = 2k + 1 ; ( k
Z
)

4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5



(*) vụ nghim

pt ó cho vụ nghim
0,5
Bài 2 3đ
Gi s cn tỡm l :
10ab a b= +
(a, b l s nguyờn v a khỏc 0)
0,25
Theo gi thit:
10a b a b+ = +
l s nguyờn, nờn
ab
v b l cỏc s chớnh phng, do ú: b
ch cú th l 1 hoc 4 hoc 9
0,5
Ta cú:
( )
2 2
10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + + = + + =

( )
2 5 b a =
(vỡ
0a

)
0,5
Do ú

- 3ab( a + b ) 3abc = 0

( a + b + c)( a
2
+ 2ab + b
2
- ac bc + c
2
) 3ab( a + b + c) = 0


( a + b + c )( a
2
+ b
2
+ c
2
- ab bc ca ) = 0
0,5
Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca = 0
0,25
* Với a + b + c = 0 , ta đợc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b
2
Khi ®ã B =

1,0
Khi ®ã B =
2 .2 .2b c a
bca
= 8
0,5
Bµi 4
d
d
'
D
B
A
L
I
E
N
P
H
O
M
4.1
1®
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.
0,5
Suy ra:
2 2
.
MA MN

, thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ
( )HL d⊥
thì HL // OE, nên HL là
đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:
1
2
HL OE=
(không đổi).
1,0
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng
(d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE cố định
0,5
Bµi 5
3
y
x
cb
a
1
C
B
A
O
K
P
M N
Q
Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA là đường cao
Theo hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ta có: PO
2

APB ~
∆
NPM(c.g.c)
⇒
AP AB
NP MN
=
2 2
.
(1 )(1 )
a b
AP NM
AB
NP
a b
−
⇒ = =
+ +
1,0
Tương tự tính được : AC =
2 2
( 1)( 1)
a c
a c
−
+ +
;
0,5
BC =
2 2

⇔ ≥
⇔ ≥ ⇔ ≥
⇒ ≤
1,0
Tương tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3
2 2
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c
cb + 5c ac + 5a
≤ ≤
0,5
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
0,25
4
5