Trêng trung häc c¬ së
Tµi liÖu
«n thi häc sinh giái
Líp 9
M«n
To¸n häc
lu hµnh néi bé
1
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
năm học 2006 - 2007
Câu 1: (2đ)
Cho hàm số f(x) =
44
2
+
xx
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
)(
2

x
xf
khi x
2

Câu 2: (1đ)
Giải hệ phơng trình





+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
với x > 0 và x 1
a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: (3đ)
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.
Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: (1,5đ)
Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x

=−
⇔=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
(0,5®)
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+−
−
=
−
=
xx
x
x
xf
A
(0,25®)



−+−=−+−
−−+=−
⇔



+−=+−
−+=−
2y
-2x0
4
2167221762
8422
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yx
yx
xyxyxyxy
xyxyxxy
yxyx
yxyx
(1®)
C©u 3
a) Ta cã: A =


x
x
x
x
xx
=








−
+
−
−








−
−
−
+−







−
−
−
−
+−
1
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
xx
=
1
:
1
11
−−
+−+−

2
(1®)
b) A = 3 =>
x
x
−
2
= 3 => 3x +
x
- 2 = 0 => x = 2/3 (0,5®)
C©u 4
3
O
B
C
H
E
A
P
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam
giác CPB ta có
CB
CH
PB
EH
=
; (1) (0,5đ)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC

= (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2

AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB (0,5đ)
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH

=
+


=

=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m
xx
21
21
21










=



=
=

1
+ x
2
= 11 (0,25đ)
đề toán 9
Bài 1 : (2,5đ) Cho biểu thức : P = 2






++
)
1
(
2
1
1)
1
(
4
1
2:1)
1
(
4
1
22
a


.0
111
=++
cba
Thì :
.bacbca
+=+++
Bài 4 : (3đ) Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn
OC . Vẽ đờng tròn tâm (O

) đờng kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đờng
thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đờng thẳng ED cắt (O

) tại P .
1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng.
2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đờng tròn (O

).
3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO

lớn nhất.
Bài 5 : (2đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :
6
.
1
)
1
(2)
1

4
1
2:1
1
(
4
1
2
2
a
a
a
a
a
a

5
P =






++
)
1
(
2
1

a
a
a
a
. (1đ)
1. Tập xác định a > 0 ; a khác 1 . (0,5đ)
2. TH 1 : Nếu
100
1
<<>
aa
a
.Rút gọn ta đợc P =2 . (0,5đ)
TH2 : Nếu
10
1
>< aa
a
Rút gọn ta đợc P = 2 /3 . (0,5đ)
Vậy P = 2 khi 0<a<1 và P = 2 /3 khi a> 1.
Bài 2 : (2 điểm).
Từ phơng trình ta có:

.0)
1
11
1
1
)(2003(
0

+

+
mmm
mx
m
mx
m
mx
m
mx
m
x
m
x
m
x
+ Nếu :
3
1
;
3
1
130
1
11
1
1
2
====

1. Do P thuộc (O

) mà MD là đờng kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc
với ED. Tơng tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1)
Vì EF là dây cung, CD là đờng kính mà CD

E F nên I là trung điểm của E F. Lại
cóI là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2).
Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng.
(1đ)
2. Ta có

EDC =

EFP (góc có cạnh tơng ứng vuông góc). Do tam giác PO

D
cân tại O

nên

EDC =

O

PD. Lại có

EFP =

IPF (do tam giácIPF cân)

Pytago có PI
2
+ PO
2
= IO
2
=R
2
(không đổi ) . Mặt khác 4S
2
=PI
2
.PO
2
( S là diện
tích của tam giác IOP) . Vậy 4S
2
Max hay S Max khi PI = PO

=R
2
1
mà DM
=2 PO

do đó
DM =
2
R , Vậy M cách D một khoảng bằng
2

(2)
1
(3)
1
(6
k
x
z
k
z
y
k
y
x
k
xyz
xyz
x
z
x
y
y
x
Xét tích :




===
===

1
3636
)
1
)(
1
)(
1
(
2
33
33
zyx
zyx
zxyzxy
xyz
zxyzxy
xyz
k
kkkk
k
k
x
z
y
x
z
y
xyz
xyz






+
+



1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 2: ( 2điểm).
Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x

+ t
1
+ t
2


4
Bài 4: ( 3 Điểm).
Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm
của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB
và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5: ( 1 Điểm)
Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
xyyx
5011
22
+
+
Đá án: Toán 9
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x
1;0

x
( 0, 25 điểm)


x
x
x
x
( 0, 5 điểm)
8
b. P =
1
2
1
1
1

+=

+
xx
x
Để P nguyên thì
)(121
9321
0011
4211
Loaixx
xxx
xxx
xxx
==
===

mmm
(0,5đ)
3
2
1
0)3)(2(
025
<







<
>+
>=

m
m
mm
(0,5đ)
b. Giải phơng trình:
( )
50)3(2
3
3
=+
mm

là nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 nên ax
1
2
+ bx
1
+ c =0.
(0, 5 điểm) .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1
=++






a
x
b
x

.
1
2
2
2
=+








+








a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1

x
; t
2
=
2
1
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1


2 (0,5 điểm)
t

và BH
AC

=> BD
AB

và CD
AC

(0,5đ) .
Do đó: ABD = 90
0
và ACD = 90
0
. Vậy AD là đờng
kính của đờng tròn tâm O (0,5 đ)
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD của đờng tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình
bình hành.
b. Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB
nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB (0,25 đ)
Do đó: APB = ACB Mặt khác:
AHB + ACB = 180
0
(0,25 đ)
=> APB + AHB = 180
0
(0,25 đ)
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB
Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB
Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC (0,25 đ)

2222
yx
xyyxxyyx
+
=
++
+
+
(0,25đ)
x
2
+ 2xy + y
2


4xy =>(x + y)
2


4xy =>
2
)(
1
4
1
yxxy
+

=>
( )

a
a

+
1
1
+
a
a
+

1
1
:
a
a

+
1
1
-
a
a
+

1
1
Câu 2 (2điểm)
Cho phơng trình
X

)2(
4
+
x
x
=12
Câu 4 (3 điểm ).
Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, CD là dây cung của (O), COD =90
0
, CD cắt
AB tại M (D nằm giữa C và M) và OM=2R. Tính độ dài các đoạn thẳng MD, MC theo
R.
Câu 5 (1,5 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức :
22
ba
+
+
22
dc
+

22
)()( dbca
+++
Hớng dẫn chấm
Câu 1 :
-Điều kiện xác định của A là : -1<a<1 ; a

0 (0,5 điểm).


>0 (1)
x
1
.x
2


0 (2) (0,5 điểm).
1
1
x
+
2
1
x
=
5
21
xx
+
(3)
-Giải (1) => m<
5
7
(0,25 điểm)
-Giải (2) =>m

1 ; m


2
2
+
x
x
vào hai vế ta đợc (0,25 điểm)
<=>(
2
2
)
2
+
x
x
+
2
4
2
+
x
x
-12 =0 (1) (0,5 điểm)
-Đặt
2
2
+
x
x
=y => (1) <=> y
2

7
(0,5 ®iÓm)
-TÝnh MD =
2
2R
(
7
-1) (0,5 ®iÓm)
-TÝnh MC =
2
2R
(
7
+1) (0,5 ®iÓm)
C©u 5:
-(1) <=> a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+2.
))((
2222
dcba
++
≥
a

c
2
+b
2
c
2
+2abcd. (0,25 ®iÓm)
<=> (ad-bc)
2
≥
0 (0,5 ®iÓm)
 (1) ®îc chøng minh.
13
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
Thời gian: 120 phút
Câu 1:
a. Xác định x

R để biểu thức :A =
xx
xx
+
+
1
1
1
2
2
Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức:

2
. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC với đờng tròn. Một góc xOy = 45
0
cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại D và E.
Chứng minh rằng:
a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ).
b.
RDER
<<
3
2

đáp án toán 9
Câu 1: (2.5đ) a.
A =
xxxxx
xxxx
xx
xx 2)1(1
)1).(1(
1
1
22
22
2
2
=+++=
+++
++

2(
2
22
=
++
++
=
++
+
++
+
++
xxy
xyx
xyxz
z
xxy
xy
xxy
x
(1đ)


1
=
P
vì P > 0 (0.25đ)
Câu 2: (2đ)
a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên

+ (4 1)
2
= 10


AB
2
= AC
2
+ BC
2


ABC vuông tại C (0.75đ)
Vậy S

ABC
= 1/2AC.BC =
510.10
2
1
=
( đơn vị diện tích ) (0.25đ)
Câu 3: (1.5đ)
Đkxđ x

1, đặt
vxux
==
3

Tơng tự: OME = 90
0

D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). (1đ)
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R

DE < R (1đ)
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R

DE >
3
2
R
Vậy R > DE >
3
2
R (1đ)
15
B
M
A
O
C
D
E
Đề thi môn toán 9
Thời gian làm bài 120 phút

1
2
1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =
32
2

c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: Cho phơng trình
32
2

x
2
- mx +
32
2

m
2
+ 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn
21
21
11
xx
xx
+=+

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1
Hãy tính giá trị của:
B =
x
xyz
y
zx
z
xy
++
16
Đáp án toán 9
Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là








1
0
0
ab
b
a
- Rút gọn D
D =


13)13(
1
32(2
32
2
2
+=+=
+
=
+
a
Vậy D =
34
232
1
32
2
322


=
+
+
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
112
+
Daa
Vậy giá trị của D là 1
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1)
0920






+


+
234
234
014
2
1
2
1
2
m
m
mm
(
*
)
+



=
=+
=++=+

0
038
02
2
m
m
m
mm
m
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*)vµ (**) ta ®îc m = 0 vµ
194
−−=
m
C©u 3:
+
;
2
.
2
1
α
cSinAIS
ABI
=
∆
+
;
2
.
2

+
=⇒
+=⇒
2
2
)(
2
)(
2
α
α
α
α
α
C©u 4:
a)
21
ˆˆ
NN =
Gäi Q = NP
)(O
∩
BQAQ


=⇒
N

B
A