đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 : (4điểm) Cho f(x)=
12
6
6)1(
++
m
x
m
x
x
1. Giải bất phơng trình f(x)
0

với m=
3
2
2. Tìm m để : (x-6
x

1
)f(x)
0

với mọi x
[ ]
1;0

câu 2 : (4 điểm )

câu 4 : (6 điểm )
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn :
4
22
=+
yx
và điểm A(1;0)
một điểm M thay đổi trên đờng tròn. Chứng minh rằng đờng vuông góc với
AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định .
2. Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm A;
B; C thay đổi . Chứng minh rằng đờng vuông góc kẻ từ B vuông góc với đờng
chéo AC luôn đi qua một điểm cố định.
3. Cho tam giác ABC vuông ở C. tìm những điểm P trong không gian thoả
mãn :
222
CPBPAP



+
câu 5: (2 điểm )
Tìm các hàm số f(x)xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều kiện :
f(x+y)=f(x).f(y);

x,y
R

.
Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn : Toán

x
0,25
0,25
0,5
1,0
2. (2điểm )Với x=1, bất phơng trình thoả mãn với mọi m
Xét x
[ ]
1;0

Đặt h(x)=x-6
x

1
h(x)=1+6
)(06ln
1
xh
x
>

đồng biến trên
[ ]
1;0
và h(1)=0
[
)
1;00)(
<
xxh


tt
tt
Bảng biến thiên :

t 1 2 6
g(t) - 0 +
g(t)
3
2
2
1

Từ m
)(tg

đứng với mọi t
[
)
[
)
mtg

)(min6;1
6;1
hay m
2
1

0,25










10
0
0
a
x
x
ax
x
Đặt













với
2



o
thì
1
42
cos
2
1










Vậy để (*) có nghiệm thì
a
1



2
1

+ 2
.
[ ]
)22(log
2
++
ax
.

Xét hàm số f(t) = 2
t
log
2
t với t

2
f
'
(t)= 2
t
log
2
t.ln2 +
2ln
2
t
t
> 0

t

1

=1+2a
*
1

<0

a< -
2
1


(1) vô nghiệm
*
1

=0

a= -
2
1


(1) có nghiệm kép x=
2
1
*
1



(2) vô nghiệm
*
2

= 0

a =
2
1

(2) có nghiệm kép x=-
2
1
*
2

>0

a <
2
1

(2) có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=-1

a21

Kết luận:

phơng trình có nghiệm : x= -
2
1
; x = 1


2
+ Với a >
2
1
phơng trình có nghiệm : x =1

a21
+
Câu 3 : (4 điểm )
1. (3 điểm)
y =
2
33
2
+
++
x
xx
TXĐ
{ }
2/
=
RD
y

+
y
x 2
lim
;
=

y
x 2
lim
suy ra đờng thẳng x=-2 là tiệm cận
đứng
y=x+1+
2
1
+
x
; lim
0
2
1
=
+
+
x
x


x+1 là tiện cận xiên



1
Đồ thị : Giao với Oy tại (0;
2
3
) y
nhận I(-2; -1) làm tâm đối xứng

3/2
1
-3 -2 -1 x
O
-3
2. (1 điểm)
Hàm số y=
2
1
1
+
++
x
x
vì
221;
++
xxZyZx
là ớc của 1
vậy x+2=+1 hoặc x+2=-1



MA

do đó phơng trình đòng thẳng

vuông góc với
AM tại M có phơng trình :
(2cos
0.sin2)1
=++
Dyx

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25