Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: toán
Thi gian 180 phút
Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x
3
-
32
2
1
2
3
mmx
+
(m là tham số)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đờng thẳng y = x cắt đồ thị (cm)tại 3 điểm phân biệt A,
B, C sao cho AB = BC.
Bài 2: (2điểm)
Tính tích phân
I =
dxxx
23
1
0
1


Bài 3: (2điểm)
Cho phơng trình:
x
2


3
4
)2)(23(
+
xx
Bài 5: (2điểm)
Giải phơng trình
sin
3
(x +
xsin2)
4
=

Bài 6: (2điểm) Cho

ABC có:
2
1
sinsin
coscos
22
22
=
+
+
BA
BA
(cotg

x-1-
5
2

x
4 - 12 . 2 + 8 = 0
Bài 9: (2điểm)
Cho hình chóp S . ABCD trong đó SA

(ABCD) và SA = 2; ABCD là
hình chữ nhật, AB = 1; BC = 3.
Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AC và SD
Bài 10: (2 điểm)
Giả sử x,y là 2 số dơng thỏa mãn điều kiện
6
32
=+
yx
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y.
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 12
môn: Toán
Bài 1:
a) Với m = 1 thì hàm số có dạng: y =
2
1
2
3
23
+
xx

1
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, y
ct
= 0
Giới hạn
lim y = -

, lim y =
+

x

-

x

+


(0,25)
* Tính lồi, lõm, điểm uốn.
y = 6 x 3
y = 0

x =
2
1

Dấu của y:
x -

x
3
-
0
2
1
2
3
32
=+−
mxmx
(1)
§êng th¼ng y = x c¾t ®å thÞ t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A,B,C
⇔
pt (1) cã 3
nghiÖm ph©n biÖt x
A
, x
B
, x
C
. Theo Vi et ta cã : x
A
+ x
B
+x
C
=
2
3

2
m
x
−
ta ®îc:
f(x) = (x -
2
m
) (x
2
mx 1 -
2
2
m
) -
2
m
+
4
3
m
.
(0,25)
x =
2
m
là nghiệm của (1)

-
2

(0,25)
và có

(
2
m
) = -1 -
0
4
3
2

m
.
m

vậy: m = 0 ; m =
2

(0,25)
Bài 2: I =
dxxx .1.
2
1
0
3


Đặt x = sin t, t


==

)(cos.cos).cos1(.cos.sin
2
2
0
22
2
0
3
tdttdttt

=
15
2
|)cos
3
1
cos
5
1
()(cos).cos(cos
2/
0
352
2
0
4
==


+ m
(0,25)
PT (1) có nghiệm




0

- m
2
+ m

0

0

m

1
(0,25)
Vậy 0

m

1 thì pt (1) có nghiệm
b) Gọi x
1
, x
2

2
-
2
m
-
2
1
| = 2 |(m -
4
1
)
2
-
16
9
|
(0,25)
Với 0

m

1 thì ( m -
4
1
)
2


0


8
9
(0,25)
Bài 4: Giải phơng trình
2
23

x
+
2
+
x

3
4
)2)(23(
+
xx
(1)
TXĐ: D =
{

x

R
\ x


3
2

2
23
+

x
x
, t

0
(0,25)
BPT

2t
2
3t + 1

0

0

t

2
1
hoặc t

1
(0,25)
* Với 0


1 thì
4
2
23
+

x
x


1

x

2
(0,25)
Vậy tập nghiệm của BPT (1): T =






47
34
;
3
2