Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Bảng B
Bài I
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y = x
3
-3x +2 (C)
2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến
với (C) tại A,B,C tơng ứng cắt lại (C) tại A',B',C'. Chứng minh rằng A',B',C'
thẳng hàng.
( Đề ôn luyện số 4 Toán học tuổi trẻ tháng 5/2005)
Bài II.
1. Giải hệ phơng trình
1-23 -
=++
yxyx

yx +
+ x y = 0
(Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002)
2. Giải bất phơng trình:
ln
2
1
+
x
- ln(x
2
-x +1) > 0
(Đề thi khối A bộ quốc phòng 2002)
Bài III:

2
B + 27 cotg
2
C.
( Đề ôn luyện số 3 Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005)
Hớng dẫn chấm
Bài (6
đ
)
CâuI (3
đ
)
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a. y = 3x
2
-3 = 3(x
2
-1) => x =-1 hoặc x = 1
(0.25
đ
)
y>0 trên khoảng (-; -1) và (1; +)
y<0 với x (-1;1)
(0.5đ)
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=-1; y
CĐ
= y(-1) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; y

)2/x 3/x-(1x
323
lim
x
= +
(0.5đ)
d. Tính lồi lõm và điểm uốn
y = 6
x
; y= 0 <=>
x
= 0
x
- 0 +
y - 0 +
đồ thị lồi U(0;2) lõm
(0.5đ)
e. Bảng biến thiên:
x
- -1 0 1 +
y + 0 - - 0 +
y
4 2 +
- 0
(0.25đ)
3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ)
Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng

CâuII:(3
đ

) và (C) là:
x
3
-3x +2 = (3x
1
2
-3
,
)(x- x
1,
) + x
1,
3
-3x
1,
+ 2.
<=> (x- x
1,
)
2
(x+2x
1
) = 0
(0.5
đ
)
=> d
1
cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x
1

'/2 =>a(- x
i
'/2) + b = (- x
i
'/2)
3
-3(- x
i
'/2) + 2
(0.5đ)
=> -4a x
i
' + 8b = -x
i
3
-12 x
i
+16
<=> x
i
'
3
-3 x
i
'
+ 2 = (4a + 9) x
i
' + 18 - 8b
hay ba điểm A',B',C' nằm trên đờng thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b
Bài II (4

u = 2
(0.5đ)


v = 3

Vậy x + y = 4 x = 1

3x + 2y = 9  y = 3
(0.5®)

Thâa m·n ®iÒu kiÖn C©u II ®iÒu kiÖn x # -1
Ta cã bÊt ph¬ng tr×nh <=>ln
2
1
+
x
> ln(x
2
-x +1)
(0.5®)
<=>
1
+
x
> 2(x
2

xx
xx
xxxx
+
−+
=
+
=
+
(0.5®)
=
−=
+
−
323
1
)1(
11
xxxx
=
+
−+
)1(
1
2
22
xx
xx
3
1

2
1
2
22
2
2
3
(1®)
C©uII (2.5
®
)
§Æt t= - x => I =
∫
−
−+
1
1
22
)ln( dttat

(0.5®)
∫∫∫
−−−
++−==
++
=
1
1
22
1

CM = (x,-a,a-x)
Do AN vuông góc với CM <=>AN. CM = 0
(1đ)
=> -ax + (a-x)
2
= 0 <=> x
2
- 3ax + a
2
= 0
x =
2
53

=>
2
15

=

=
xa
x
MB
MS
(1đ)
Bài V:(2đ)
F = 5cotg
2
A + 16cotg