đề thi học sinh giỏi lớp 12 bảng b
Môn: Toán
Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
2
++=
xxxy
Bài 2:(2đ) Parabol:
2
2
x
y
=
chia hình tròn
8
22
+
yx
ra làm 2 phần. Tính diện
tích mỗi phần đó.
Bài 3:(2đ) Tìm m để phơng trình x
4
( 2m+3)x
2
+ m + 5 = 0 có 4 nghiệm x
1
,
x
2
, x
3

cos2
+=

+
Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ABC thoả mãn: a = x
2
+ x + 1;
b = 2x + 1;
c = x
2
1. Hỏi ABC có đặc điểm gì?
Bài 7:(2đ) Tính
x
x
x
x
Lim
2
13
53







+

Bài 8:(2đ) Giải hệ phơng trình:

21
. Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi.
Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:



=+++
+=+
0
22
22
dcdc
baba
Chứng minh:
( ) ( )
22
22
+
dbca
-2 O
2
x
đáp án hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng
B
Môn : Toán
Bài
Nội dung
Điểm
1
(2đ)

<

++



++
+
0
0
0
0
1
0
1
0
011
01
01
22
22
2
2
x
x
x
x
x
x
xxx

1.14
1212
2222
2
22
2

Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R
0.5
0.5
0.75
0.25
2
(2đ)
Đờng tròn có bán kính: R=
228
=
y
Diện tích hình tròn là: S =

8
2
=
R
(đvdt)
Gọi diện tích phần gạch chéo là S
1
, phần còn lại là S
2
.







=+
=
2
2
082
02
8
2
2
2
22
2
y
x
yy
yyx
yx
x
y

S
1
=
2

=
cận
2
0
x
thành cận
4
0

t
0.5
0.5
0.5
( )
3
4
2
3
8
)2cos1(8
3
8
cos16
3
8
cos.22.sin182
4
0
4
0

3
(2đ)
Txđ của phơng trình là : R
Đặt x
2
= X
0

, ta có phơng trình: f(X) = X
2
( 2m+3).X + m + 5 = 0
(*)
để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x
1
< x
2
< x
3
< x
4
thì phơng trình (*) có
hai nghiệm thoả mãn: 0 < X
1
< X
2
. Khi đó
24131221
;;; XxXxXxXx
====
Do



>+
>+
<+






>
>
<

097
05
03
0)4(
0)0(
0)1(
m
m
m
af
af
af




x
Txđ :R
Bpt :
( )
(
)
0343
2
+
xxx



























+++
>+




+




+++











++

2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
[
)
+









.,2
2
2
0sin
0cos
zkkxk
x
x
+<



>




áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF =
3
32
sin2
1
sin
3
2
+
x
x
áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta đợc:
VT

+=







=
=









=
=



2
3
2
1
cos
2










>+
>







>

>
>
>






++>++

2
= b
2
+ c
2
+bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA => cosA=
2
1
mà 0 < A <

=> A =
3
2

. Vậy ABC có góc A =
3
2

0.5
1.0
0.5
7
(2đ)
Ta có

xt
thì 6t = 3x-1
3
16
+
=
t
x
Khi x thì t
Khi đó
















+




3
2
4
3
2
42
1
1
1
1lim
1
1lim
13
53
lim
tttx
x
t
t
t
t
x
x
= e
4
vì





e
t
t
t
t
t
0.5
0.5
0.5
0.5
8
Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phơng trình tơng đơng với:
M
1
M
1
1/2 1
(2đ)





=
=
=





2
1
log
4
3
2
444
333
222
xyz
xzy
yzx
yxz
xzy
zyx





=
=
=






=

27
24
9
;
3
2
24
4
2
2
22
====== zyx
0.5
0.5
0.5
0.5
9
(2đ)


+++=++++++=
+++=
nn
n
OAOAMOnOAMOOAMOOAMO
MAMAMAMN
.......
)1(...
121
21

10
(2đ)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y
M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có:






=+++
=+
2
1
)
2
1
()
2
1
(
2
1
)
2
1
()
2
1
(

2
2
. Nối IK cắt 2 đờng 0.5
0.5
0.5
1/2 1/2
-1
1

1

N
1
-1
N
1/2
1
11
O

-1/2
1/2