Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn thi: Toán - Đề 1
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x
3
+mx
2
+9x+4 (Cm)
1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính:
I=

3/
4/
4


xdxtg
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x
2
; y= 4x
2
; y = 4.
CâuIII (2 điểm):
1.Cho phơng trình: (m+3)x
2
- 3mx + 2m = 0
Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x

x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phơng trình với m =
2
3
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm x sao cho x






2
3
;
2

Câu VI (2 điểm):
1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu ABC là nhọn, c/m tgA + tgB + tgC
33
Câu VII (2 điểm):
1. Tìm:
1
23
lim
3
1




(P): Cx + Ay + Bz + D
3
= 0 (3)
Với điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
> 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện ABCD có AB mp(BCD), BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông.
Câu X (2 điểm):
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên (đợc viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Năm học: .................
Hớng dẫn chấm thi
Môn: Toán- Đề số I
(Bản hớng dẫn chấm gồm 7 trang)
Câu I:

1
3
1
+++
xmxx
(1)
-y
1
=
49
1
2
1
3
1
++
xmxx
(2) (0,25đ)
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
04
2
1
=+
mx
(0,25đ)

4
2
1
=

x


3/
4/
4
2
2
cos
cos1


(0,25đ)
=
dxdx
x
dx
dx
x
dx

+
3/
4/
3/
4/
2
3/
4/
4

=
123
2
2
3
1
3/
4/
3/
4/
3/
4/
3







+=+






+
xtgxxtgtgx
(0,25đ)

2
1
0
22
44

y = 4

y = x

2

y = 4x

2

y

x

= 2








+

3
16
(đv dt) (0,5đ)
Câu III
1. Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
ta có :







+
=
=
+
=+
3
2
32
3
3
21
21
21
m

)3(2)3)(32(
3
3
2
3
3
3
32
=



=





+=+


+
=
+

ì
+
+
m
m










<−
>−
≥∆
<∆
⇔








<≤−
≥∆
<∆
2
4
0)4(
0
0

⇔












−>
−>
≥∨−≤
<<−
⇔













⇔



=−+
=+
)2(2823
)1(11
2
PSS
PS
(0,25®)
(1) ⇒ P = 11 - S thÕ vµo (2) ta ®îc: S
2
+ 5S - 50 = 0
gi¶i ®îc: S
1
= 5; S
2
= -10

-4
x
S/2
2

1

x
HÖ