đề thi học sinh giỏi khối 12
Thời gian :180 Môn : Toán
1-Bài 1: (3 điểm) Cho tích phân

=
2
0

xdxSinI
n
n
. (
*
Nn

)
a-Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n+2
b-CMR : hàm số f
(n)
=(n+1)I
n
I
n+1
thoả mãn f
(n+1)
=f
(n)
.

;a
2
;....................;a
n
;........ thoả mãn :

( )
1....................1
210
=
n
aaaa
. Dãy b
n
xác định nh sau :
k
a
n
k
k
k
n
a
a
b
1
1
1
1


;........ Thoả
mãn (1) sao cho b
n
> C với vô số chỉ số n.
4- Bài 4 : ( 3 điểm )Cho
ABC

CMR: Điều kiện cần và đủ để trên đoạn AB tồn tại điểm D sao
cho CD là trung bình nhân các độ dài AD ;BD là:

2
.
2
C
SinSinBSinA

.
5- Bài 5 : (3 điểm). CMR x
1
>0 ; x
2
>0 ; x
1
y
1
-z
1
2
>0 ; x
2


Vẽ giao tuyến và tính góc phẳng nhị diện của (SAD)
và (SBC).
2- Vẽ MN; MQ lần lợt song song với BS,BC. (N
CDQAS

;
).Mặt phẳng
( )
.PSDMNQ
=
a- CMR: MNPQ là hình thang vuông,
RPQMN
=
. Tìm quĩ tích R khi M di
chuyển trên AB.
b- Đặt AM=x. Tính diện tích hình thang MNPQ theo a và x, xác định x để diện
tích đạt giá trị lớn nhất .Tính diện tích lớn nhất đó.
1
đáp án thi học sinh giỏi khối 12
1- bài 1: ( 3 điểm)
a- Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n+2
. ta có I
n+2
=
( )



=
=
+
xSin
n
v
Sinxdxdu
CosxdxxSindv
Cosxu
n
n
1
1
1
.
(0,25)
vậy
.
1
1
0
1
1
1
1
2
2
0
2



(0,5)
vậy (*) trở thành
I
n+2
= I
n
-
1
1
+
n
I
n+2


(n+1)I
n
= (n+2) I
n+2
(0,25)
b- CM : f
(n+1)
= f
(n)

từ f
(n)
=(n+1) I

c- Tính f
(n)
ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
.............
.............
1
1
43
32
21
ff
ff
ff
ff
ff
n
nn
=







0
2
0
2
0
2




==

dxxCosCosxxdxSinSinxdx
(0,5)
2
vËy f
(n)
=
2
π
víi
n
∀
.
2- Bµi 2: (4 ®iÓm)
a- (2 ®iÓm) §Ó vÕ tr¸i cã nghÜa :
®iÒu kiÖn :




x
++−=
−−
++
=
+−
(0,25)
VËy
2
2
2
)211(
)211(
4
x
x
x
++=
+−
(0,25)
BPT :
⇔
: ( 1+
x21
+
)
2
< 2x + 9 (0,25)

⇔

)



−
∈
8
45
;
2
1
\
{ }
0
(0,25)
b- (2 ®iÓm)
3
(0,5)
Đặt Sinx = u ; Siny = v . Khi đó hệ trở thành :
(1)
(2)
(0,5)
(3)

- Các điểm thoả mãn ( 3) nằm trong hình vuông MNPQ .
đờng thẳng (1) nằm trong hình vuông là đoạn thẳng AB .
A(
)1;
2
1

1
4
5
2
2
8
1



m
m
(0,5)
với m







4
7
;
2
1
thì hệ có nghiệm
3-Bài 3 : ( 3 điểm)
a-
1

1
1
1

=









=
0


n


(0,5)
mặt khác :
( )( ) ( )
k
kk
kk
kkkk
kk
kk


4











=+
=+
1;1
2
2
2
1
22
vu
m
vu
vu
( )












=










=

aaaaa
n
n
k
kk
vậy
n
b

0

<....... đồng thời
k
k
k
k
pp
a
a
a
)1(
1
)1(
2
1
=

(0,25)

k
a
n
k
k
k
n
a
a
b
1
1

==+=


=

=

(0,5)
vì 0<p<1=>
n
n
p
lim

=0 do đó
.
lim
q
n
b
n
=

mà q>C nên nếu nđủ lớn thì b
n
> C. (0,25)
4-Bài 4: ( 3 điểm)
(0,5)
* Điều kiện cần : (1điểm)
Giả sử : CD

2
1
2
2
CosC
C
Sin
=
(0,25)
2SinA.SinB + CosC

1 Mặt

: SinA.SinB > 0 (0,25)
=> 2SinASinB + Cos C > CosC > -1
Vậy :


: 0





để Cos

=2SinASinB + Cos C
0

C