Phòng giáo dục và đào tạo vĩnh Lộc
đề thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
( Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1 ( 2,5 điểm ): Cho biểu thức A =
312
513


xx
xx
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Bài 2: ( 4,5 điểm )
1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC mà phơng trình của các đờng
thẳng AB, BC, CA lần lợt là x + 2y 2 = 0; 2x + y 13 = 0; x 2y + 6 = 0. Chứng
minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
2/ Giải phơng trình:
721033
+=+++
xxx
Bài 3: ( 5,0 điểm )
1/ Cho là góc nhọn thoả mãn Sin + Cos =
5
6
.
Hãy tính tổng Sin
4
+ Cos

.
Bài 5: ( 2,5 điểm )
Cho x, y, a, b là các số thực thoả mãn đồng thời các điều kiện: x
2
+ y
2
= 1 và
bab
y
a
x
+
=+
1
44
và. Chứng minh rằng:
10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
- Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:
- Họ tên, chữ ký của ngời coi thi:


x
- 5 = 3y
2
+ 3 y 5 = 3y
2
y 2
= ( y 1 ) ( 3y + 2 ) = (
1

x
- 1 ) ( 3
1

x
+ 2 );
2x -
1

x
- 3 = 2y
2
+ 2 y 3 = 2y
2
y 1
= ( y 1 ) ( 2y + 1 ) = (
1

x
- 1 ) ( 2

xx
xx

- Vậy A =
112
213
+
+
x
x
; với x

1; x

2
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
2
1,0
điểm
Với x

1; x

2, theo câu a ta có:
A =
112

0 nên 2.
1

x
+ 1

1, do đó
2.( 2.
1

x
+ 1 )

2 > 0, suy ra
)11.2.(2
1
+
x



2
1
;
Từ đó A

2. Dấu = xảy ra khi x = 1.
Vậy khi x = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất bằng 2.
0,50
0,25

x
; với hệ số góc a
3
=
2
1
.
- Vì a
2
. a
3
= - 2 .
2
1
= - 1, nên ( BC )

( CA ), do đó tam
giác ABC vuông ở C, với cạnh huyền AB.
0,25
0,25
0,50
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
- Toạ độ của điểm A là nghiệm chung của hai phơng trình:
x + 2y 2 = 0 ( 1 ) và x - 2y + 6 = 0 ( 2 ).
Trừ từng vế hai phơng trình ta đợc 4y = 8, nên y = 2
Thay y = 2 vào phơng trình ( 1 ) ta đợc x = - 2.
Vậy A ( - 2; 2 ).
- Toạ độ của điểm B là nghiệm chung của hai phơng trình:

Xét phơng trình
721033
+=+++
xxx
( 1 )
- ĐKXĐ của phơng trình ( 1 ):






+
+
+
072
0103
03
x
x
x
Hay









x
, do đó 3x + 10 = x + 3, suy ra x = -
2
7
không thoả mãn ( * ).
- Nhân hai vế của phơng trình ( 1 ) với
103
+
x
-
3
+
x
ta đ-
ợc 3x + 10 ( x + 3 ) =
72
+
x
. (
103
+
x
-
3
+
x
)
Hay 2x + 7 =
72
+

3
+
x
( 3 )
- Từ ( 1 ) và ( 3 ) suy ra
103
+
x
=
72
+
x
, suy ra x = - 3.
- Nhận thấy x = - 3 thoả mãn ( * ), nên nghiệm duy nhất của
phơng trình ( 1 ) là x = - 3.
0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,25
3
5,0
điểm
1
2,0
điểm
Đặt A = Sin
4
+ Cos

+ Cos
4
= ( Sin
2
+ Cos
2
)
2
2. sin
2
. Cos
2
= 1
2.
2500
121
=
2500
2258
.
- Vậy A =
2500
2258
0,50
0,25
2
3,0
điểm
Với x > y



+
2
)1)((
8
yyx
8 ( 2 )
- áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 4 số dơng ( 2x 2y ), (
y + 1 ), ( y + 1 ),
2
)1)((
8
+
yyx
ta đợc:
( 2x 2y ) + ( y + 1 ) + ( y + 1 ) +
2
)1)((
8
+
yyx



4 .
4
2
)1)((
8).1)(1)(22(
+

1,0
điểm
H
G
E
F
O
P
S
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm
- Nối O với P. Qua P kẻ dây EF vuông góc với OP. Do O và P
cố định nên OP và EF cố định, do đó EF = m không đổi.
- Qua P kẻ dây GS bất kỳ khác dây EF. Ta chứng minh cho
dây EF là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
- Thật vậy: Kẻ OH

GS. Do P không trùng với O và dây GS
khác dây EF nên tồn tại tam giác OPH vuông ở H; Vì vậy OP
> OH; Suy ra EF < GS.
- Vậy trong số các dây cung đi qua P thì dây EF vuông góc
với OP là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
2,0
điểm

= 4.R
2
- Đờng tròn ( O; R ) cho trớc nên 4 R
2
là hằng số.
- Vậy khi hai dây AC và BD quay xung quanh điểm P ( P cố
định nằm trong đờng tròn ( O; R ) cho trớc ) nhng luôn vuông
góc với nhau thì tổng AB
2
+ CD
2
luôn có giá trị không đổi
bằng 4.R
2
.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài Câu Yêu cầu cần đạt
Mức
điểm