Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn H Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
§Ị thi chÝnh thøc
Môn : TOÁN ( Vòng 1)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
........... ...........................................................................................................................................

BÀI 1:
Gọi (C) là đồ thò hàm số :y = x
3
– 2005x. M
1
là điểm trên (C) có hoành độ x
1
=1.
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
1
cắt (C) thêm một điểm M
2
khác M
1
.
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
2
cắt (C) thêm một điểm M
3
khác M
2,

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
n-1

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không có cạnh nào ngắn hơn bán kính R
và có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng
2
3
2
R
thì : sinA + sinB + sinC
≤

2
33
+
. ------------- Hết ---------------

Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn H Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
§Ị thi chÝnh thøc

Môn : TOÁN ( Vòng 2)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
........... ...........................................................................................................................................
BÀI 1:
Với mỗi số thực a, kí hiệu [a] chỉ số nguyên k lớn nhất mà k
≤
a .
Giải phương trình : [lg
x

a/ Các hệ số của P(x) khác nhau đôi một và đều thuộc tập {0;1;.....;n}.
b/ P(x) có n nghiệm thực phân biệt .

------------ Hết --------------
Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn H Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
§Ị thi chÝnh thøc
Môn : TOÁN ( Vòng 1)
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Bài
Nội dung
Điểm
1
( 6đ)
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
k
(x
k
;y
k
): y - y
k
= y’(x
k
)(x- x
k
)
y = (3x
2
k

) = 0 ⇔ x= x
k
; x = - 2x
k

+ Vậy x
k+1
= - 2x
k

1,0
1,0
+ x
1
=1 , x
2
= -2 , x
3
= 4 ........ , x
n
= (-2)
n-1
n= 1,2,..........
+ y
n
= x
3
n
-2005x
n

7,0
+ Điểm N thoả tính chất a/ khi và chỉ khi N ở trên đường tròn qua E,F,G.
1
+ Chứng minh: Chọn hệ trục Oxy với O là tâm hình vuông EFGH và vec tơ đơn vò
trên

trục :
OGi
=

;
OFj
=
.
Ta có E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) .
Phương trình của EF : x –y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,đường tròn(EFG): x
2
+y
2
=1
Gọi N(X;Y). Toạ độ các hình chiếu của N lên EG, EF, FG lần lượt là:
N
1
(
X;0) ,

N
2
(
2

N
1
, N
2

,
N
3
thẳng hàng khi và chỉ khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0
⇔
X
2
+Y
2
=1(1)
2,0
+ Tìm thêm điều kiện để N thoả tính chất b/. Chỉ cần xét N(X;Y) khác F(0;1).
Với điều kiện (1) ,dường thẳng d có phương trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0
Tâm của (T) là I(0;
2
1
) . Bán kính của (T) :
2
1
+ d tiếp xúc (T) khi và chỉ khi :
2
1
)1(
)
2

2
=2(1-Y).Đang xét Y
≠
1 nên :(Y-1)(2Y+1)
2
= -2
⇔
4Y
3
-3Y+1= 0
⇔
(Y+1)(4Y
2
-4Y+1) = 0
⇔
Y= -1 ; Y=
2
1
.
1,0
+ Với Y=-1 ta có điểm N(0;-1), đó là H .
Với Y=
2
1
, ta có thêm hai điểm N : (
2
3
;
2
1

2
1
.
1,0
1,0
+ S=
R
abc
4
=2R
2
sinAsinBsinC
+ S
≤
2
3
2
R
⇔
sinAsinBsinC
≤
4
3
⇒
sinAsinBsinC
≤
uvw .(1)
1,0
1,0
+

≤
u .(3)
1,0
+

Ta có :
u+v+w = sinC(
A
u
sin
+
B
v
sin
+
C
w
sin
)+(sinB-sinC)(
A
u
sin
+
B
v
sin
)+(sinA-sinB)
A
u
sin

+ Nếu x là nghiệm thì : x = [
2
x
] + [
3
2x
]- [
6
x
] - [lg
x
] nên x là số nguyên
dương.
1,0
1,0
+ Đặt x = 6q + r ,với q và r là các số tự nhiên , 0
≤
r
≤
5 .
[
2
x
] + [
3
2x
] - [
6
x
] = [ 3q +


⇔ [lg
x
]= [
2
r
]+ [
3
2r
]- [
6
r
] - r với r
∈
{0;1;2;3;4;5}
2,0
+ Ta có : [
2
r
]+[
3
2r
]-[
6
r
]-r =



=

.
1,0
1,0
2
7,0
Câu 1/
(Hình v
ẽ

ở
trang cu
ố
i)
+
Q =
MG
NG
NG
MG
+
≥
2 .Dấu bằng khi và chỉ khi :
NG
MG
=
MG
NG
= 1 .
+ SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD. Gọi K là trung điểm của
SG . Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại

1

Nối NK cắt cạnh hình bình hành

A
1
B
1
C
1
D
1
tại P, ta có : PM // SG .
+
Từ đó : Q=2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành
'
1
'
1
'
1
'
1
DCBA
'
1
'
1
'
1