SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1. (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:

( )
( )
2 2
2 2
8 2
16 8 16 5 4
y x x
x y x xy y

= + +


− + = + −


Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương
n
thoả mãn với mỗi số nguyên lẻ
a
mà

2. Gọi
N
là trung điểm cạnh
BC
và
H
là trực tâm tam giác
ABC
. Chứng minh rằng
GH AN
⊥
Câu 4. (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:

( )
2
3
3
1 1 1 1
( )( )( )
2
a b c abc
a b b c c a a b b c c a
abc
+ + +
+ + + ≥
+ + + + + +
với mọi
, , 0a b c >
Câu 5. (1.0 điểm)

4 , 5 4y x y x= − = +
0.25
- Nếu
4y x= −
, thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0, 2, 5x x x= = − = −
0.5
• Với
0x =
thì
4 4y x= − =
• Với
2x = −
thì
4 6y x= − =
• Với
5x = −
thì
4 9y x= − =
0.25
- Nếu
5 4y x= +
, thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0, 2, 19x x x= = − =
0.5
• Với
0x =
thì
5 4 4y x= + =
• Với

Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi
một, nên
( ) ( )
2 4 |a a a n− −
. Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 2
2 4 2 7 4 4 0 7 4 1 0a a a n a a a a a a a− − ≤ < + ⇒ − + − < ⇒ − + − <
. Vô lý (do
7a ≥
).
0.5
Do đó
1a
=
hoặc
3a
=
hoặc
5a
=
0.25
- Nếu
1a
=
thì
{ }
2 2
1 3 1,2,3,4,5,6,7,8n n≤ < ⇒ ∈

khi và chỉ khi:
. .PA PB PC PD=

- Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác
AMBC
nội tiếp, ta được
GM GA GB GC
× = ×
( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)
0.5
- Áp dụng cho tứ giác
BFEC
nội tiếp, ta được
GB GC GF GE× = ×
0.5
- Suy ra
GF GE GM GA× = ×
0.25
- Do đó, tứ giác
AMFE
nội tiếp.
0.25
2. Gọi
N
là trung điểm cạnh
BC
và
H
là trực tâm tam giác
ABC

. Suy ra
|| , ||KC BH KB CH
, do đó
BHCK
là hình bình hành.
Suy ra
KH
đi qua
N
0.5
- Khi đó
, ,M H N
thẳng hàng. 0.25
- Trong tam giác
GAN
có hai đường cao
,AD NM
cắt nhau tại
,H
nên
H
là trực tâm của tam
giác
GAN
. Suy ra
GH AN⊥
0.25
Câu 4. (1.5 điểm).
N
D

0.5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz
( )
( )
2 2 2
3
2
3
2
3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 2
2
1 1 1 1
. . . 2 .
2
c a b a b c b c a abc
a b b c c a
abc
c a b a b c b c a abc
a b b c c a abc
c a b abc
 
+ + + + + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 
 
≥ + + + + + +
 ÷