Dạng 9.Số học
1) Tìm một số biết nhân số đó với 15 rồi cộng với lập phơng của số đó sẽ bằng 6 lần bình
phơng của số đó cộng với 31 lần số đó?
2) Tìm một số biết nếu nhân số đó với 12 rồi thêm vào lập phơng của số đó thì kết quả bằng 6 lần bình
phơng của số đó cộng với 35 .
3/ Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2007! Chia hết cho 7
a
.
4/ Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc cùng một số d .
HD:Ta có:13511

r(mod a)
13903

r(mod a)
14589

r(mod a)


392

0(mod a)
1078

0(mod a)
686

0(mod a)

a =ƯCLN(392;1078;686) = 98

N
*
Loại
+Nếu n>8 thì ta có:
a = 2
8
(9+2
n-8
) với n

N
*
Vì a là số chính phơng thì 9 + 2
n-8
= p
2
2
n-8

= p
2

- 9 ,p >3


2
n-8

13/ Tính tổng các chữ số của số A
2
biết A = 99998 (Số A có 2007 chữ số 9).
14)Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4,
Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 .
15) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4,
Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 , Chia 9 d 8, Chia 10 d 9 .
16/ Tìm số có 10 chữ số sao cho chia cho 5 d 2 , chia cho 9 d 2 , chia cho 735 d 20.
17/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 123 thì đợc thơng lớn nhất là 97 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên
trên.
18/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 678 thì đợc thơng lớn nhất là 397 và số d lớn nhất.Tìm số tự
nhiên trên.
19/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102011 thì đợc thơng lớn nhất là 2012 và số d lớn nhất.Tìm số
tự nhiên trên.
20/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:222;255;249;234.
Tìm số nguyên lớn nhất.
21/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:4691;5568;5599;4706.
Tìm số nguyên lớn nhất.
22/Tổng các chữ số của một số có 2 chữ số cho trớc cộng với bình phơng của tổng 2 chữ số ấy cho ta
chính số đó.Tìm số đã cho.
23/Tìm x,y sao cho:
62 427xy
M
99
24/Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98.
25/Tìm một số tự nhiên biết số đó chia cho 26 thì đợc số d bằng 2 lần bình phơng của số thơng.
26/Tìm 3 số nguyên tố khác nhau biết tích 3 số đó gấp 3 lần tổng của chúng.
27/Chứng minh rằng luôn tìm ra đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số.
28/Cho p là số nguyên tố >3 .Hỏi p
2

k
+ 19
k
+ 1993
k
,
k Z
+

và k lẻ có phải là một số chính phơng không?
HD:Vì k lẻ nên:1
k

1(mod 4)
9
k

1
k
(mod 4)

1(mod 4)
19
k

(-1)
k
(mod 4)

-1(mod 4)


0
2k
(mod 3)

0(mod 3)
77
2k

(-1)
2k
(mod 3)

1(mod 3)
1977
2k

0
2k
(mod 3)

0 (mod 3)
Vậy: b

2 (mod 3) (Vô lý)

b không phải là số chính phơng.
34/Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và
chia cho 5 d 4.
HD:Ta có: a

60 13 13 13
47 47
t t
a t
+ +
= = +
Đặt
13 13 47 13 8
3 1
47 13 13
t k k
k t k
+
= = = +
Đặt
8 13 5
13 8 8
k u u
u k u= = = +
Đặt
5 8 3
8 5 5
u v v
v u v= = = +
Đặt
3 5 2
5 3 3
v p p
p v p= = = +
Đặt


a=59
Đáp số:a=59.
35/Chứng minh rằng số
{
{
11...1 10...05 1A
= ì +
là số chính phơng.
HD:Ta có :A =(10
1994
+10
1993
+...+10+1)
ì
(10
1995
+5)+1
=
1995
1995
10 1
(10 5) 1
9

ì + +
=
2
1995
10 2

2 5
3 19
1995 1997
k k
A
= +
chia hết cho 4.
HD:Ta có: 1995

-1 (mod 4)
1997

1 (mod 4)
1995
2
3
( 1) 1 (mod 4)
k
A
+
Vậy : A
M
4

1995
2
3
( 1) 1 4
k
+


2000 ) để a
n
có giá trị cũng là số tự nhiên.
42/Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy u
n
= n +
2
2003
n
.
43/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102010 thì đợc thơng lớn nhất là 2010 và số d bé nhất.Tìm số
tự nhiên trên.
44/ Cho số a = 1.2.317 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ chữ số 1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a , biết ớc số đó :
a/ Là lập phơng của một số tự nhiên.
b/ Là bình phơng của một số tự nhiên.
45/ Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 215
2
+ 314
2
.
46/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1 2 3 4x y z
mà chia hết cho 13.
47/
a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636đợc viết dới dạng phân số tối giản .Thế thì tổng của tử và
mẫu là:
A.15 B.45 C.114 D.135 E.150
b/ Mệnh đề sau đây đúng không:(0,3333).(0,6666) = (0,2222)

51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 3 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây: