Bµi tËp ®Þnh lý vi-Ðt
Bµi 1: Phương trình: 2x
2
+ (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
1. Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.
2x
2
+ 3x + 1 = 0
Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= - 1/2
2. Phương trình (1) có
∆
= (2m -1)
2
- 8(m -1)
= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2

≥
0 với mọi m.
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi giá trị của m.

x
2
= 1
<=> 4(x
1
+ x
2
)
2
- 6 x
1
x
2
= 1
<=> ( 1 - 2m)
2
- 3m + 3 = 1
<=> 4m
2
- 7m + 3 = 0
+ Có a + b + c = 0 => m
1
= 1; m
2
= 3/4
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,do pt có hai
nghiệm x
1
; x
2
(với m là tham số ) Δ’ ≥ 0
⇒
m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Vi-ét
ta có:
x
1
+ x
2
= 2m
x
1

. x
2

= m
2
- m + 3
x

1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +
1
2
)
2
-
13
2
Do điều kiện m ≥ 3
⇒
m +
1
2
≥ 3+

2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
Vậy GTNN của x
1
2

+ x
2
2
là 18 khi m = 3
Bài 3 .
a)Giảiphương trình (1) khi m = -1:
Thay m =
1−
vào phương trình (1) ta được phương trình:

2
2 8 0x x+ − =

2
( 2 1) 9 0x x⇔ + + − =

> 0 (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u
2
thì theo định lí Vi-ét ta có:

2
2 3
u u 2m
u.u (m 1)

+ =


= −


(**)
( )
( )
2
3
3
2
**
1
u u m
u m

+ =


= −



2
3 0
1
m m
u m

− =
⇔

= −

PT
2
3 0m m− =

⇔

( )
1 2
3 0 0; 3m m m m− = ⇔ = =
(thỏa mãn đk (*) )
Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giá trị cần tìm.
Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1) tìm
hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì
trả lời.
Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm

2

mm
= m
2
-2m+1-2m+3
= m
2
-4m+4 = (m-2)
2


0 vi mi m.
Phng trỡnh (1) luụn luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du khi v ch khi a.c < 0
<=> 2m-3 < 0
<=> m <
2
3
.
Vy : vi m <
2
3
thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du.
Bài 5.: Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Giải: Phơng trình: ( 2m-1)x
2






<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m


<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
012
06
06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx
mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<

51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x
1
,
x
2
Chøng minh:
a,Ph¬ng tr×nh ct
2
+ bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t
1
vµ t
2
.
b,Chøng minh: x
1
+ x
2

mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<
>+−
>=∆
⇔
m
m
mm

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )
50)3(2
3
3
=+−−
mm

2
+ bx + c = 0 nên ax
1
2
+ bx
1
+ c
=0. .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1
=++






a
x
b
x
Chứng tỏ

2
2
2
=+








+








a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dơng

=
2
1
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1


2 t
2
+ x
2
=




0.

(m - 1)
2
-m
2
-3

0

4 - 2m

0

m

2.
b/. Với m

2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:

2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m

( thõa mãn điều kiện).
Bai10: Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
Giải:
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì > 0
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:










=
=
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x
7
4m-13
x
1
1

Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =


xxxx
xx
P
Giải . : cm
m

0
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:



−=
=+
1
21
21
mxx
mxx

2
12
2
+
+
=⇒
m
m
P
(1) T×m ®k ®Î pt (1) cã nghiÖm theo Èn.
11

xx
xx
+=+
gi¶i : a) m = -1 ph¬ng tr×nh (1)
0920
2
9
2
1
22
=−+⇔=−+⇔
xxxx





+−=
−−=
⇒
101
101
2
1
x
x
b) §Ó ph¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th×
4
1
0280

+



=−
=+
⇔=−+⇔+=+
01
0
0)1)((
11
21
21
212121
21
xx
xx
xxxxxx
xx





+=
=
=




- 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2
2
nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m
2
- 4m - 5 > 0
- (2m
2
- 2m - 5) < < + 4m + 4
m
4
- 2m + 1 < < m
4
(m
2
- 1)
2
< < (m
2
)
2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 14: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x
2
-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x

X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=-14 TMĐK
Theo giả thiết ta có 2x
1
+3x
2
=13
X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=-m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=1 thỏa mãn ĐK
Bài 15: Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

m.
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Theo Viét:



=
=+
3
)1(2
21
21
mxx
mxx
=>



=
=+
622
22
21
21
mxx
mxx

<=> x
1
+ x

+
m

4
15
4
15

VậyP
min
=
4
15
với m =
4
5

Bi 16 :
Cho phng trỡnh
( )
2 2
1
x - 2m + 1 x + m + = 0
2
( m l tham s) (1)
1)Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit ?
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x
sao cho biu thc

.x
2
= m
2
+
2
1
khi o
M = ( x
1
-1)(x
2
-1`) =x
1
x
2
-(x
1
+x
2
) +1 = m
2
+
2
1
- 2m -1 +1
= (m-1)
2
-
2

1

+
m
mm
=
12
1

m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1

m
<0





<
>+

012
01
12
1
m

iu kin :
x
1
+ x
2
+ x
1
.x
2
= 1
Giai : a = 1 , b = -(m+1) ; c = m
2
1 .
= b
2
a.c = (m+1)
2
1. ( m
2
1)
= m
2
+ 2m + 1 m
2
+ 1 = 2m + 2.
pt cú hai nghim x
1
, x
2
thỡ 0

1 = 1
m
2
+ 2m = 0.
m(m + 2 ) = 0.
m = 0 ( nhn) ; m = -2 ( loi)
Vy m = 0.
Bi 19:
Cho phng trỡnh bc hai n x, tham s m : x
2
2(m + 1)x + m
2
1 = 0