Tr ương Đình Dũng Trường THPT Trưng Vương
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1. Định nghĩa:
Phép đối xứng qua đường thẳng d, Kí hiệu: D
d
Đ
d
(M) = M’
⇔
d là đường trung trực của đoạn MM’
Hay Đ
d
: M
a
M′ ⇔
= −
uuuur uuuur
'HM HM
(H là hình chiếu
của M trên d)
2. Tínhh chất : Đ
d
Là một phép dời hình.
3. Các phép đối xứng trục trong mặt phẳng Oxy:
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'

: b(x – x
M
) – a(y – y
M
) = 0
- Gọi H là hình chiếu của M trên d: H =
∆
I
d ==> toạ độ H
- H là trung điểm của MM’ == > toạ độ M’
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: Tìm ảnh cúa một điểm; một đường qua phép đối xứng trục
1. Tìm ảnh của đt
∆
qua Đ
d
:
+ Nếu d//
∆
:
∆
’ //d ( chú ý khoảng cách từ d đến
∆
và đến
∆
’ bằng nhau.)
+ Nếu d cắt
∆
tại A thì
∆

c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
8. Cho đường tròn
2 2
( ): 6 2 1 0C x y x y+ − + + =
. Tìm phương trình đường tròn đối xứng với
( )C
qua
đường thẳng a)
( ) : 0d x y− =
b) (d) : 3y + 4y – 1 = 0
9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x

tích trực tâm H của ∆ABC.
13. Trong mặt phăng Oxy , tìm tập hợp những điểm M cách đều hai đường thẳng d: 3y + 4y – 5 = 0 và
d’: 12x + 5y + 13 = 0
DẠNG 3: Tốn dựng hình
14. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng
AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
15. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho chu
vi ∆ABC là bé nhất.
16. Cho hai đường tròn (C) và (C’) và đường thẳng d.Hãy dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A,C lần lượt
nằm trên (C), (C’) còn hai đỉnh kia nằm trên (d).
17. Cho hai đường tròn (O;R) và O’;R’) và một đường thẳng d
a) Hãy xác định hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là trung trực của đoan
MM’
b) Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tiếp IT’ với (O’;R’) tạo thành một
góc nhận đường thẳng d làm phân giác trong hoặc phân giác ngồi
DẠNG 4: Các dạng tốn khác
18. Cho ∆ABC với trực tâm H.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng
nhau.
b) Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O
1
,
O
2