SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Cho
3 3
1 12 135 12 135
1
3 3 3
x
 
+ −
 ÷
= + +
 ÷
 
.
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức
( )
2
3 2
M= 9 9 3x x
− −
.
2) Cho trước

1 2 3
; ; x x x
là ba nghiệm của phương trình (1).
Tính giá trị của biểu thức
5 5 5
1 2 3
1 1 1
S
x x x
= + +
.
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên
,x y
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2
5 60 37x y x y xy+ + + =
.
2) Giải hệ phương trình:
( )
3 2
4
2 1 5 2 0
x x x y y
x x y

− = −


+ − + + =

Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đáp án gồm : 04 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất Hội đồng chấm.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 1
Cho
3 3
1 12 135 12 135
1
3 3 3
x
 
+ −
 ÷
= + +
 ÷
 
.Tính
( )
2
3 2
M= 9 -9 -3x x
.
1,00
Từ
3 3

 
+ −
 ÷
⇔ − = +
 ÷
 
( ) ( )
3
3 1 8 3 3 1x x⇒ − = + −
3 2
9 9 2 0x x⇔ − − =
( )
2
1 1M⇒ = − =
0,25
0,25
0,25
0,25
1 2
Cho trước
,a b R∈
; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn
3 3 3 3
( )
x y a b
I
x y a b
+ = +




+ = +

+/Nếu
0a b+ ≠
thì
(*) ⇔
x y a b
xy ab
+ = +


=

=> x, y là 2 nghiệm của phương trình
2
( ) 0X a b X ab− + + =
Giải ra ta có
;
x b x a
y a y b
= =
 
 
= =
 
=>
2011 2011 2011 2011
x y a b+ = +
.


+ =


+ =


=>
2011 2011 2011 2011
x y a b+ = +
0,25
2 1
3 2
1 0 (1)x ax bx+ + − =
. Tìm
,a b Q∈
để (1) có nghiệm
2 3x = −
.
1,00
Thay
2 3x = −
vào (1)ta có :
( ) ( ) ( )
3 2
2 3 2 3 2 3 1 0 a b
− + − + − − =
( )
3 4 15 7 2 25a b a b⇔ + + = + +
+/Nếu

= −


=

0,25
0,25
0,25
0,25
2 2
Với a=-5 ;b=5. Tính giá trị của biểu thức
5 5 5
1 2 3
1 1 1
S
x x x
= + +
.
1,00
+/
5
5
a
b
= −


=

(1) có dạng


+/
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 14x x x x x x+ = + − = .
+/
( ) ( )
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
52x x x x x x x x
+ = + + − =
.
+/
( ) ( ) ( )
5 5 2 2 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
724x x x x x x x x x x+ = + + − + =
=>S = 725
0,25
0,25
0,25
0,25
3 1
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
2 2 2 2
5 60 37x y x y xy+ + + =
(1)
1,00

2
2
3
3
0
xy
x y
x
x y
=

=


⇔
 
=
− =



(vô nghiệm trên Z).
+/
( )
2
2
4
2
2
4

= =


= = −

là các giá trị cần tìm.
0,25
3 2
Giải hệ phương trình:
( )
3 2
4
(1)
2 1 5 2 0 (2)
x x x y y
x x y

− = −


+ − + + =


1,00
Điều kiện :
0y ≥
.
(1)
( )
( )

2 1 2.2 .1 4x x x+ ≥ =
( )
4
2 1 2 2x x x⇒ + ≥ =
.
nên
( )
2
VT(3) 2( - 2 1) 2 1 0.x x x≥ + = − ≥
Do đó Pt (3)
4
1
1 1
1 0
x
x y
x

=

⇔ ⇔ = ⇒ =

− =


.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1
;
1 1

·
1
BJI IBK
2
= =
sđ
º
BI
;
·
BKI
chung
Δ KBI⇒
đồng dạng với
Δ KJB
(g.g)=>
2
KI KB
= KB =KI.KJ
KB KJ
⇒
(1)
Tương tự:Δ KDI đồng dạng với
Δ KJD
2
KI KD
= KD =KI.KJ
KD KJ
⇒ ⇔
(2)

2
AB AI
= AB =AM.AI
AM AB
⇒ ⇒
(4).
Từ (3),(4) =>
AH AM
AI.AM=AH.AO' =
AI AO'
⇒
.
=>Δ AHI đồng dạng với
Δ AMO'
( vì
AH AM
=
AI AO'
;
µ
A
chung ).
=>
·
·
AHI=AMO'
=> tứ giác MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’
cùng thuộc một đường tròn.
0,25
0,25

1 1
BIM BO'M
2 2
= =
sđ
¼
BM
=>
·
·
BDI BIM
=
=>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔBID
hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD .
0,25
0,25
0,25
0,25
5 Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành
tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu.
1,00
Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A.
Do chỉ đánh bởi hai dấu (+), (
−
) nên
tồn tại hai điểm cùng dấu , không mất
tổng quát giả sử hai điểm A, B cùng
dấu và cùng dấu (+).
+ Nếu C có dấu (+) thì tam giác vuông
cân ABC là tam giác phải tìm.