NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
A-Mục Tiêu:
-Cung Cấp cho HS tránh những sai lầm khi tìm giá trò nhỏ nhất,giá trò lớn nhất của biểu thức.
-Nắm vững các phương pháp và linh hoạt từng dạng toán .
-Vận dụng các phương pháp vào giải toán cực trò.
B-Nội dung:
I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
-Đònh nghóa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK
trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≤
M với M là hằng số .
+Tồn tại x
0
,y
0
,…thuộc D sao cho f(x
0
,y
0
,…) = M
-Đònh nghóa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên
đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)
≥
với N là hằng số .
+Tồn tại x
0

≤
{a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
5) {a+b{
≤
{a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab
≥
0
6) a
2
+b
2

≥
2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
7)
ab
ba
≥
+
2
.Với a,b
≥
0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
8) a
≥
b , ab > 0 =>
ba
11
≤
Đẳng thức xẩy ra khi a= b

a
=
(BĐT Bu nhi a côp xki)
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trò:
1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
VD
1
:Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P
176
1
2
+−
=
xx
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất
Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8
1
Min(x
2
- 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP =
⇔
8
1

1
−
Không phải là giá trò lớn nhất của biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A =
4
1
5
1
−>
Lời giải đúng: Ta có :x
2
- 6x +17 = (x-3)
2
+8
≥
8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò dương .=> P
> 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=>
P
1
Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x
2
- 6x +17 có giá trò nhỏ nhất.
VD
2
:
Tìm giá trò nhỏ nhất của A = (x-1)
2
+ (x-3)
2
Lời giải sai:ta có (x-1)
2


≥
xz
Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :
x
z
x
y
z
x
+−
≥
1(1) .Mặt khác ,ta có
2
≥+
x
y
y
x
(2).Cộng (1) với (2):
x
z
z
y
y
x
++

≥
3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z

y
≥
z.Chẳng hạn :B = x
2
+ y
2
+z
2
+xy+xz+yz.Sau
khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta
được : x
2
+ y
2
+z
2
+xy+xz+yz, vẫn bằng B)
Cách giải đúng :
Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
A=
x
y
y
z
z
x
++

3..3
3

z
x
++
=






−++








+
x
y
x
z
z
y
x
y
y
x

≥
xz(Nhân hai vế với số dương xz)
<=>xy+z
2
-yz-xz
≥
0
<=>y(x-z)-z(x-z)
≥
0
<=>(x-z)(y-z)
≥
0(2)
(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng .
Từ đó tìm được giá trò nhỏ nhất của
x
z
z
y
y
x
++
VD
3
:Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
biết x+y =4
Lời giải sai:Ta có x

2
= 0 <=> x=2 đi đến Min x
2
= 4 <=> x=2
Dễ thấy kết quả đúng phải là minx
2
= 0 Khi và chỉ khi x = 0
Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x
2
+2xy+y
2
= 16 (1)
Ta lại có (x-y)
2

≥
0 => x
2
-2xy +y
2

≥
0(2)
Từ (1) và (2) : 2(x
2
+y
2
)
≥
16 => x


+=−






++
xxx
Vậy MinA =
4
1
−
Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x)
≥

4
1
−
,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) =
4
1
−
.Xảy ra dấu bằng khi và
chỉ khi
2
1
−=

4(z+y).x
1)(
2
=++≤
zyx
Nhân từng vế (do không âm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x)
≤
1
Max A =
64
1
3
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện để A =
64
1
là
thuẫn Mâu





≥
=++
===
⇔




2= (x+y)+(y+z)+(z+x)
3
))()((3 xzzyyx
+++≥
(2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
2
3
3
9
2
9






≤⇒≥
AA
Max A =
3
1
3
2
3
===⇔




Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A =
ab4
Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như
vậy đòi hỏi a= b .Nếu a
≠
b thì không có được A =
ab4
Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :
A=
( )( )
( )
ba
x
ab
x
x
abbxaxx
x
bxax
++






+=
+++
=
++

2
VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x
2
+3y
2

≤
5
Lời giải sai:Gọi B= 2x
2
+3y
2
ta có B
≤
5
Xét A+B = 2x+3y +2x
2
+3y
2
= 2(x
2
+x)+3(y
2
+y)
=2(x+1/2)
2
+3(y+1/2)
2
-5/4
4

4
3
2
1
2
1
3
2
1
22
≠+=






−+






−
.Do đó –B
5
−≠
Cách giải đúng:
Ta xét biểu thức phụ:A

)
255.5
=≤
A
2
= 25 <=>
yx
yx
=⇔=
3
3
2
2
.Do A
2

25
≤
nên -5
5
≤≤
A
Min A = -5



−==⇔
−=+
=
⇔