Tỉng hỵp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH =@=GV: Ngun B¸ Phóc
phßng GD & §T hun yªn thµnh
trêng THCS M· Thµnh
tµi liƯu «n tËp thi vµo líp 10 PTTH
(Lu hµnh néi bé)
Tổng hợp phương pháp giải các các
dạng Toán
luyện thi vào lớp 10 PTTH
trêng THCS M· Thµnh yªn thµnh nghƯ an– –
1
Tỉng hỵp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH =@=GV: Ngun B¸ Phóc
Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc
Chuyên đề I. Rút gọn biểu thức chứa biến
NGun b¸ phóc - GV: Trêng
THCS M· thµnh
Trong ch¬ng tr×nh To¸n líp 9, viƯc rót gän c¸c biĨu thøc lµ vÊn ®Ị v« cïng quan träng
(chiÕm kho¶ng tõ 1,5 ®Õn 3,5 ®iĨm trong c¸c k× thi), v× thÕ, mµ t«i mn giíi thiƯu bµi To¸n
nµy tíi b¹n ®äc. Mong c¸c b¹n hiĨu s©u h¬n vµ n¾m vưng c¸ch lµm vỊ d¹ng To¸n nµy.
A. LÝ thut.
1) Bµi To¸n quy ®ång mÈu thøc c¸c ph©n thøc.
Trong ch¬ng tr×nh líp 8, SGK ®· giíi thiƯu cho chóng ta ph¬ng ph¸p quy ®ång mÈu thøc
c¸c ph©n thøc nh sau.
B íc 1 . T×m mÈu thøc chung (MTC)
Trong bíc nµy c¸c em cÇn lµm c¸c viƯc sau:
+) Ph©n tÝch c¸c mÈu thøc thµnh nh©n tư.
+) LËp tÝch gåm c¸c NTC cã sè mđ cao nhÊt vµ c¸c NT riªng ®Ĩ cã MTC.
B íc 2 . T×m NTP cđa tõng ph©n thøc. (®Ĩ t×m NTP c¸c em cÇn lÊy MTC võa t×m ®ỵc
chia cho MT riªng cđa tõng ph©n thøc).
B íc 3 . Quy ®ång. (Nh©n c¶ tư vµ mÈu cđa tõng ph©n thøc víi NTP t¬ng øng).
−
x
Gi¶i:
a) §Çu tiªn ta ph¶i t×m MTC:
Ta cã: x
2
– 1 = (x – 1)(x + 1)
vµ: x
2
– 2x + 1 = (x – 1)
2
khi ph©n tÝch xong, ta thÊy Nh©n tư chung lµ (x – 1), cßn
nh©n tư riªng lµ (x + 1)
⇒
MTC lµ: (x – 1)
2
. (x + 1)
T×m ®ỵc MTC råi, ta tiÕn hµnh t×m nh©n tư phơ (NTP) cđa tõng ph©n thøc:
§Ĩ t×m NTP cđa ph©n thøc
1
1
2
−
x
, ta lÊy MTC lµ (x – 1)
2
. (x + 1) chia cho MÈu thøc riªng
cđa nã lµ (x
2
2
= x + 1
⇒
NTP cđa ph©n thøc
12
1
2
+−
xx
lµ: (x + 1)
C«ng viƯc cßn l¹i cđa chóng ta lµ quy ®ång c¸c ph©n thøc ®· cho.
§Ĩ quy ®ång mÈu cđa ph©n thøc ta lÊy “tư” vµ “mÈu”cïng nh©n víi nh©n tư phơ cđa nã lµ
trêng THCS M· Thµnh yªn thµnh nghƯ an– –
2
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
(x 1). Tức là:
)1()1(
1
)1)(1(
1
1
1
22
+
=
+
=
=+=+
xxxxx
MTC là:
)2()2(
2
+
xx
+) NTP của phân thức
4
1
x
là:
2
x
+) NTP của phân thức
44
1
+
xx
là:
2
+
x
=
=
+
xx
x
xxx
c) Tơng tự.
L u ý : Trớc khi quy đồng nếu phân thức cha tối giản, ta nên tối giản rồi mới quy đồng
2) Các phép toán trên phân thức.
a) Phép cộng và phép trừ:
+) Cộng trừ hai phân thức cùng mẩu:
m
BA
m
B
m
A
=
+) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu:
nm
BmAn
nm
mB
nm
nA
n
B
A
.
.
.:
==
3) Bài Toán rút gọn biểu thức.
a) Cách giải:
Bớc 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.
Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.
b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =
1
2
1
2
1
+
x
xx
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
3
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
Giải: Biểu thức A có nghĩa
0
1
1
0
01
01
01
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ĐKXĐ của biểu thức là
0
x
và
1
x
.
Khi đó ta có: A =
xx
xx
)1)(1(
2)1(2)1(
+
+
=
xx
xxx
)1)(1(
222
+
++
=
xx
xxx
)1)(1(
+
=
xx
xx
)1)(1(
)1(
+
1). Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2. b) A =
3
2
c) A =
2
1
Giải: Ta có:
a) A = 2
222222)1(22
1
=====
xxxxxx
x
x
x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
b) A =
2223)1(23
3
2
1
3
2
9
1
=
x
(TMĐK)
Vậy với x =
9
1
thì A =
2
1
.
Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha cho giá trị của P thì các em cần dựa giả thiết của
bài toán để tìm P rồi tiến hành giải nh bình thờng.
+)
=
=
=
mP
mP
mmP )0(
+)
=
.
Giải:
a) Ta có:
=
=
=
1
1
1
P
P
P
Trờng hợp 1. Với
11231
2
3
1
====
=
xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
25523)2(31
1
2
P
P
P
Trờng hợp 1. Với
4426
2
1
2
3
2
1
====
=
xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
64826)2(6
2
1
2
3
2
1
=====
0 ==
=
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
133363)2(333
2
3
3 =====
= xxxx
x
P
1
=
x
(TM)
Vậy với x = 1 thì
PP 3
2
=
.
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P
m, hoặc P
m (với m là
1
.
Giải: Ta có:
a) A >
0
)1(3
1
)1(3
)1(3
0
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
>
+
+
+
>
+
>
(vì
0)1(3
>+
x
)
4242
>>>
xxx
(TMĐK)
Vậy với x > 4 thì A >
3
1
.
b) A <
0
)1(5
)1(2
)1(5
)1(5
0
5
2
1
1
5
2
1
1
5
+
<
+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(5
>+
x
)
9
49
3
7
73
<<<
xxx
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0
x <
9
49
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
030
)1(2
3
0
)1(2
)1()1(2
+
+
1
.
Chú ý: +)
0
=
PPP
.
+)
0
=
PPP
.
+)
0
<>
PPP
.
+)
10
<<>
PPP
.
+)
1
><
PPP
.
Ví dụ 2. Cho biểu thức: P =
x
=
xxx
x
PPP
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10
<
x
.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
6
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
Vậy với
10
<
x
thì
PP
=
.
b) Ta có:
11010
1
1
0
>><
=
><
x
x
xxx
PPP
.
11010
1
0
1
)1(1
<<>>
>
xxx
x
x
x
x
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10
<
x
.
Vậy với
10 < x
thì
<
<
<>
0
1
1
1
1
1
01
1
1
01
1
1
1
0
1
1
1
<
<
<
1
1
1
1
01
1
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(không tồn tại x)
=
=
=
Vì
x
1
< 0
P 1 < 0
P < 1.
Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc
ĐKXĐ.
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1
+
(với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.
Giải: Ta có: P 1 =
xx
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m
)(xf
n
( Với m, n
Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m
Z nên để P nguyên thì
)(xf
n
phải nguyên, mà
)(xf
n
nguyên thì f(x)
phải là ớc của n.
Bớc 3. Giải các phơng trình: f(x) = Ư
(n)
để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho P =
1
2
+
x
xxx
x
x
x
x
x
Để P nhận giá trị nguyên thì
1
3
x
phải nhận giá trị nguyên, mà
1
3
x
nguyên thì
1
x
phải là ớc của 3.
=
)(2
4
0
2
31
31
11
11
TMDKx
TMDKx
TMDKx
VNx
x
x
x
x
x
x
x
Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M =
2
x
x
(với x
0 và x
x
x
x
Để P nhận giá trị nguyên thì
2
2
x
phải nhận giá trị guyên, mà
2
2
x
nguyên thì
2
x
phải là ớc của 2.
=
=
=
0
4
1
3
22
22
12
12
TMDKx
TMDKx
TMDKx
TMDKx
x
x
x
x
x
x
x
x
Với x = 9 thì M =
3
23
3
29
9
=
=
=
=
(loại)
Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Loại II. Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1. Nhân chéo rồi đặt
)0(
=
yyx
để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2
có ẩn là
y
và tham số P.
Bớc 2. Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn
y
trên có nghiệm không âm.
Bớc 3. Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bớc 2.
Bớc 4. Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x.
Bớc 5. Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho biểu thức P =
1
6
+
x
x
(với x
1
6
===
+
xx
x
x
(thoả mãn điều kiện)
Trờng hợp 2. Nếu
0
P
phơng trình (2) là một phơng trình bậc hai ẩn y có:
Pa
=
;
6
=
b
;
Pc
=
;
3
2
'
==
b
b
và
P
P
P
P
P
P
a
c
+
=
xxxxx
x
x
P
(TMĐK)
Với
1012123
1
6
3
==++==
+
=
xxxxx
x
x
P
(TMĐK)
Vậy với x = 0, x = 1, x =
2
57
, x =
21217
thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khái niệm:
x
Giải:
Ta có: P
2)1(2)12(32
2
+=++=+=
xxxxx
Vì
+
22)1(0)1(
22
xx
P
2
.
Dấu = xảy ra khi
101
==
xx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2. Đạt đợc khi
1
=
x
.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
xx
+
+==
xxxxx
Vì
+
9
0
2
3
==
xx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng
4
17
. Đạt đợc khi
4
9
=
x
.
Loại 2. Trờng hợp biểu thức có dạng
cxbax
k
P
++
=
(
kcba ,,,
là hằng số,
0
x
)
Cách giải.
xx
P
(
0
x
)
Giải:
Ta có:
4
3
2
1
4
3
4
1
2
1
..21
2
+
=+
xx
.
3
4
3
4
4
3
1
4
3
2
1
1
1
1
2
=
+
xx
M
(
0
x
)
Giải:
Ta có:
2)1(2)12(12
2
+=++=++
xxxxx
Vì
11
2
2
2)1(
2
22)1(0)1(
2
22
=
+
+
M
x
xx
.
Dấu = xảy ra khi
Bớc 2. Biện luận:
Trờng hợp 1. n > 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt
giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị nhỏ nhất
tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
11
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
Trờng hợp 2. n < 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất của P.
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =
1
3
+
+
x
x
x
x
x
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
1
+
x
phải đạt giá trị lớn nhất.
Vì:
x
0
11
+
x
. Dấu = xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của
1
+
x
là 1
Giá trị lớn nhất của P là:
3
10
30
+
+
+
+
=
+
+
=
+
xxx
x
x
x
x
x
Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì
2
+
x
phải đạt giá trị
nhỏ nhất.
Vì:
x
0
+
++
=
.
. (
nmcba ,,,,
là hằng số,
0
x
)
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P =
m
xf
k
xf
+
+
)(
)(
(
)(xf
là biểu thức chứa biến x và
)1)(1(
1
4)1(
1
3
+
+=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x)2(
1
4
+
++
x
x
x
x
2)2(4)2(
1
4
)1(
=++
+
++
x
x
A
2
.
Dấu = xảy ra khi
11214)1(
1
4
)1(
2
===+=+
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x)4(
2
16
)2(
+
+
++=
x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
9
)2(
=++
+
++
x
x
A
4
.
Dấu = xảy ra khi
424216)2(
2
16
)2(
2
===+=+
+
=+
xxxx
x
x
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4.
Loại 5. Trờng hợp biểu thức có dạng
cxbax
nxm
P
12
++
=
xx
x
P
(
0
x
)
Ta có:
012.212)12(
12
12
=+++=++
++
=
xPxPPxxxxP
xx
x
P01)1(2.
=+++
PxPxP
(1)
2222
PPPPPPPPacb
=+=+==
TH 1. Nếu
0
=
P
thì
4
1
2
1
12012
====
xxxx
.
TH 2. Nếu
0
P
thì
4
1
012
xx
. Khi đó phơng trình (2) là môt phơng trình bậc hai.
Phơng trình (1) có nghiệm
Phơng trình (2) có hai nghiệm không âm.
>
<
+
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
a
c
a
b
.
0)2(04401
3
1
1
3
1
2
3
1
3
1
222
==+=++
a) Cách giải:
Bớc 1. Đặt
x
= y (*) (ĐK: y
0)
Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y.
a.y
2
+ b.y + c = 0 (2)
Bớc 2. Giải phơng trình (2) để tìm đợc y.
Bớc 3. Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x.
b) Chú ý:
+) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân
biệt không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có:
>
>
0
0
2
0
a
b
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0
=
<
>
0
0
0
a
c
a
b
Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1)
x
=
=
=+
=
)(1
)(0
01
0
loaiy
TMy
y
y
Với y = 0 thì
x
= 0
x = 0
Vậy khi m =
2
1
thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b) Ta có: a = 1, b = 2.(m 1), c = 1 2m, b = (m 1) = 1 m.
( ) ( )
22
22
>
>
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
m
a
c
=
01
0
0
2
0'
2
m
m
a
b
=
1
0
m
m
(Không tồn tại m)
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
16
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
=
<
>
0
2
1
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
ữ
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A > 0.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A.
x
khi x > 1.
Bài 2. Cho biểu thức B =
( )
2
1
1
.
1
2 1 3 1
x
x x
x
x x x
+
ữ
ữ
+ +
ữ ữ
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm các giá trị nguyên của x để D nhận giá trị
nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để
D D=
.
Bài 5. Cho biểu thức E =
( )
1
1
.
1
1
x x x
x x
x
x x x x
+
+
+
ữ
ữ
+
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
17
1 1 2 1x x x x
ữ
+ +
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để
P P>
. c) Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bài 8. Cho biểu thức Q =
1 1
2 .
1
x x
x x x x
+
+
ữ ữ
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q =
2 1x
x
.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N =
Q
x
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
x
x x
+
ữ
ữ
+ + a) Tìm tập xác định và rút gọn H. b) Tính giá trị của H khi x = 4 + 2
3
.
c) So sánh H với 3
x
+ 1.
Bài 11. (2 điểm) Cho biểu thức P =
( )
2
1 1 1
x
có nghiệm.
Bài 13. (3 điểm). Cho biểu thức P =
3 1 1
:
1
1 1
x
x x
+
ữ
+
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
P
x
x 1
.
1
12
+
+
Bài 14. (2 điểm) Cho biểu thức A =
1
+
+
xxx
1
1.
1
1
1
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 2
2
.
c) Tìm các giá trị của x để x.A =
3
8
.
Bài 16. Cho biểu thức : B =
3
.
c) Tìm các giá trị của x để B = 1.
Bài 17. (2 điểm ) Cho biểu thức : C =
a
a
a
a
a
a
+
+
+
4
44
2
1
2
3
(Với a > 0 và a
4)
a) Rút gọn C . b) Tính giá trị của C với a = 9
Bài 18. Cho biểu thức : D =
x
+
+
+
1
1
1
1
1
1
:
1
aa
aa
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H.
b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên .
Bài 21. ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q =
1
2
:
1
1
1
2
++
+
+
xx
x
xxx
xx
1
1
:
1
1
1
1
2
x
xx
x
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Chứng minh rằng D < 1 với mọi giá trị của x 1.
Bài 23. Cho biểu thức: C =
144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++
1
1
+
+
+
xxxx
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F.
a
aa
a
aa
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm a biết P >
2
. c) Tìm a biết P =
a
Bài 26. Cho biểu thức: M =
+
++
1
1
1
1
3
(với x
0 và x
1)
a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M 2.
Bài 28. Cho biểu thức: P =
+
1
Bài 29. Cho biểu thức: A =
+
+
1
2
2
1
:
+
+
x
x
x
x
x
x 1
.
1
1
1
1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.
c) Tìm các giá trị của x để: M.
x
< 2.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm.
Bài 31. Cho biểu thức: P =
xxx
x
xx
x
+
++
+
+
+
x
x
xx
Tìm điều kiện của x để biểu thức E có nghĩa . c) Rút gọn biểu thức E.
c) Giải phơng trình A = 2
x
theo ẩn x.
Bài 33. Cho biểu thức: F =
+
4
3
3
3
3
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm giá trị của x để:
FF
>
c) Tìm các giá trị của x để F
2
= 40F.
Bài 34. Cho biểu thức: P =
+
++
+
2
1
:
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M.
b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M.
Bài 36. (2 điểm) Cho biểu thức : A =
aaa
a
aa
a
+
+
++
+
+
+
+
1
1
11
11
11
11
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị dơng với mọi a thuộc ĐKXĐ.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
20
4
2
2
2
2
:
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Cho
11
4
3
2
=
x
x
. Hãy tính giá trị của B.
Bài 38. Cho biu thc: E =
23
aa
a
aa
aa
aa
a) Rỳt gn E. b) Tỡm a :
1
8
11
+
a
E
.
Bài 39. Cho biểu thức: Q =
x
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2
2
.
c) Chứng minh rằng: Q
1 với mọi giá trị của x thoả mãn điều kiện x
0 và x
1.
Bài 40. (2 điểm) Cho biểu thức: N =
ab
ba
aab
b
bab
a
+
+
+
(với a, b > 0 và a
5
2
2
5
103
25
:1
25
25
a
a
a
a
aa
a
a
aa
a) Rút gọn M. b) Tìm tất cả các giá trị của a để M < 1.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 42. Cho biểu thức P =
( )
( )
+
+
1
8
1
+
+
+
x
xx
xx
xxxx
x
xx
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
5
66
c) Chứng tỏ A
3
2
là bất đẳng thức sai.
Bài 45. Cho biểu thức P =
3
22 xx
x
xx
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1. c) Tính giá trị của P, biết
32
=+
xx
.
d) Tìm các giá trị của x để:
)22(
+
x
.P
( )( )
42225
+=+
xx
.
Bài 46. : Cho biểu thức P =
( )
xx
x
x
xx
x
xx
1
1
.
1
1
:
1
1
2
a) Rút gọn P. b) Xác định giá trị của x để (x + 1).P = x 1.
c) Biết Q =
x
x
P
31
+
. Tìm x để Q đạt giá trị lớn nhất.
Bài 47. Cho biểu thức P =
6
=+
yx
.
Bài 48. Cho biểu thức P =
1212
1
.
1
1
2
+
+
+
+
x
x
+
+
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 1.
c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để:
2
51
P
.
Bài 51. Cho biểu thức: P =
( )
1
2
2
3
2
33
+
+
+
1
1
12
2
1
2
33
xx
x
x
x
xx
xx
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c) Tìm các giá trị của x để P =
x
.
Bài 53. Cho biểu thức P =
x
x
x
x
xx
x
+
+
+
1
1
1
:1
1
1
2
a
a
a
a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gn biu thc M. c) Tớnh giỏ tr ca M ti a =
32
3
+
.
2) Tớnh :
5724057240
+
Bài 55. Cho biểu thức: N =
a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = - 2010.
D. đáp số.
Bài 1. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: A =
1
x
x
b) A > 0
11010
1
>>>>
xxx
x
x
c) M = A.
1
1)1(
1
+
=
=
x
x
x
Vì khi x > 1 thì
01
>
x
nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng
)1(
x
và
1
1
x
ta đợc:
)1(
x
+
2
)1(
1
).1(2
1
1
=
x
=
=
=
)(0
)(4
11
11
1)1(
2
Loaix
TMx
x
x
x
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 2.a) ĐKXĐ: x
0 ; x
9
1
và x
1
. Kết quả rút gọn: B =
1
1
1
2
==
xx
x
x
x
0)2)(1(02
=+=
xxxx
4202
===
xxx
(TMĐK)
Bài 3. a) ĐKXĐ: a > 0 . Kết quả rút gọn: C =
2
1
+
a
0
1
02
1
2
1
>
>
+
>
+
a
a
a
a
a
a
1101
<<>
aaa
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc:
10
<<
a
.
Bài 4. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
4
. Kết quả rút gọn: D =
Bài 5. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: E =
1
x
x
b) Ta có E =
1
1
1
1
1)1(
+=
+
xx
x
. E nguyên khi
1
1
x
nguyên
1
x
phải là ớc của 1
=
=
=
1
1
1
F
F
F
Vì F =
0
3
2
>
+
x
x
F = 1
023231
3
2
=+==
+
xxxx
x
x
2
4)4(
+
+=
+
+
=
x
x
x
x
)4(
2
4
)2(
+
+
++=
x
x
áp dụng BĐT Cô - Sy cho 2 số dơng
)2(
+
x
và
2
4
+
x
ta đợc:
xxx
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 đạt đợc khi x = 0.
Bài 7. a) ĐKXĐ: x
0
và x
1.Kết quả rút gọn: P
1
1
+
x
x
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
23
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
b)
010
1
1
0
<<
+
<>
x
x
x
PPP
.Dấu = xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
+
x
là 1, đạt
đợc khi x = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là (-1), đạt đợc khi x = 0.
Bài 8. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: Q =
x
x 1
b) Ta có Q =
0)2(02121
12112
===
=
xxxxxx
x
x
x
x
3
.
13
.
1
=
+
=
+
x
x
x
x
x
Q
x
x
. N nguyên khi
1
3
x
nguyên
1
x
phải là ớc của
3
(0
5
4
5
4
22
S
S
SSSSSS
TH
1
. S = 0
00020
1
2
====
+
xxx
x
x
(loại)
TH
2
. S =
5
4
4
175
4
175
0152)1(25
5
4
1
2
TMx
TMx
x
x
xxxx
x
x
c) S 1 =
10
1
)1(
1
)12(
1
)1(2
1
1
1
2
1
x
x
Bài 10. a) ĐKXĐ: x
0 và x
1
. Kết quả rút gọn: S =
xx
b) Thay
2
)13(324
+=+=
x
vào biểu thức H ta đợc H =
)13(3)324()13(
2
+=++
c) H
)13(
+
x
=
130)1()12(13
2
+<<+=++=
xHxxxxxx
Bài 11. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
<
xx
x
x
A
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1.
c)
0)1(1.
=++==
mxxxmxxmxA
(1)
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
24
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH =@=GV: Nguyễn Bá Phúc
Đặt
yx
=
(ĐK: y > 0 và y
1
). Khi đó phơng trình (1) trở thành:
0)1(
2
=++
myy
(2)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (2) phải có nghiệm dơng khác 1.
TH
1
01
02
0)1(
0
0
0
m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
TH
2
. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác 1
1
01
0)1(
0)1(
0
>
<
>
=
01
0
2
1
02
0)1(
0
2
0
m
m
f
a
b
(VN)
TH
4
. Phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dơng khác 1
0)1(
0
0
0
m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
Kết hợp, 4 Trờng hợp trên ta có m > 1.
trờng THCS Mã Thành yên thành nghệ an
25
Copyright: Tài liệu đại học ©