GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§1. Độ Đo
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 18 tháng 4 năm 2005
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Không gian đo được
Định nghĩa :
1) Cho tập X = ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau :
i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì A
c
∈ F, trong đó A
c
= X \ A.
ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được
; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F − đo được)
Tính chất
Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có :
1) ø ∈ X.
Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F.
3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F.
2. Độ đo
Định nghĩa :
Cho một không gian đo được (X, F )
1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :
i. µ(ø) = 0

2) µ(
∞

n=1
A
n
) ≤
∞

n=1
µ(A
n
).
Do đó, nếu µ(A
n
) = 0 (n ∈ N
∗
) thì µ(
∞

n=1
A
n
) = 0
3) Nếu A
n
⊂ A
n+1
(n ∈ N
∗

)
Quy ước về các phép toán trong R
Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước :
1) −∞ < x < +∞
2) x + a = a, a + a = a
3) x.a =

a , nếu x > 0
−a , nếu x < 0
, a.a = +∞, a.(−a) = −∞
4)
x
a
= 0
Các phép toán a − a, 0.a,
a
0
,
x
0
,
∞
∞
không có nghĩa.
Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a
không suy ra được x = y (nếu a = ±∞).
Định nghĩa
Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :
1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞.
2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {A

A = {B ⊂ Y : ϕ
−1
(B) ∈ F }
Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên F
Giải
• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :
i. Ta có Y ∈ A vì ϕ
−1
(Y ) = X ∈ F
Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh B
c
= Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta có

ϕ
−1
(Y \B) = ϕ
−1
(Y )\ϕ
−1
(B) = X\ϕ
−1
(B)
ϕ
−1
(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ
−1
(B) ∈ F
⇒ ϕ
−1
(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A



⇒ ϕ
−1
(B) ∈ F hay B ∈ A.
• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo.
Với B ∈ A ta có ϕ
−1
(B) ∈ F nên số µ[ϕ
−1
(B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0,
xác định.
i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ
−1
(ø)] = µ(ø) = 0
ii. Giả sử B
n
∈ A (n ∈ N
∗
), B
n
∩ B
m
= ø (n = m) và B =
∞

n=1
B
n
.Ta có


n=1
µ [ϕ
−1
(B
n
)] (do tính σ−cộng của µ)
⇒ γ(B) =
∞

n=1
γ(B
n
)
3
2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập A
n
∈ F (n ∈ N
∗
). Đặt :
B =
∞

k=1

∞

n=k
A
n


n=1
A
n
) < ∞
Giải
2) Đặt C
k
=
∞

n=k
ta có :
C
k
∈ F (k ∈ N
∗
), C
1
⊃ C
2
⊃ . . . , µ(C
1
) < ∞; C =
∞

k=1
C
k
Do đó : µ(C) = lim

ii. Nếu A
1
, A
2
∈ F, A
1
∩ A
2
= ø thì µ(A
1
∪ A
2
) = µ(A
1
) + µ(A
2
)
(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)
iii. Nếu A
n
∈ F (n ∈ N
∗
), A
1
⊃ A
2
⊃ . . . và
∞

n=1

) (1)
4
Đặt
C
k
=
∞

n=k
B
n
(k = 1, 2 . . .),
ta có
C
k
∈ F, C
1
⊃ C
2
⊃ . . .
và
B = B
1
∪ . . . ∪ B
n
∪ C
n+1
∞

k=1

}
n
và đặt A
n
= r
n
+ A (n ∈ N
∗
). Ta chỉ
cần chứng minh tồn tại n = m sao cho A
n
∩ A
m
= ∅. Giả sử trái lại, điều này không
đúng. Khi đó ta có
µ(
∞

n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
) (1)
Mặt khác, ta có
µ(A

C ⊂ G
n
\ A ∀n = 1, 2, . . .
nên ta có :
µ(C) ≤
1
n
∀n = 1, 2, . . .
Vậy µ(C) = 0.
5