Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------
Nguyễn Thị Xuân Mai
VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
S
Ĩ
ĨT
T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………1
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………...2
Chƣơng I
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC
TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
1.1. Đạo hàm theo phƣơng cấp cao Ginchev và điều kiện tối ƣu cấp cao….4
1.2. Xấp xỉ đa thức và điều kiện đủ tối ƣu……………………………….. 13
1.3. Điều kiện tối ƣu cấp hai……………………………………………... 19
1.4. Cực tiểu cô lập…………………………………………………….......26
Chƣơng II
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC
TIÊU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC TẬP
2.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ………………………………………33
2.2. Điều kiện cần cấp cao cho cực tiểu địa phƣơng yếu………………….42
2.3. Điều kiện đủ cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt…………..44
2.4. Trƣờng hợp
r

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chƣơng I trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao của I.Ginchev [5] cho
bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn, không có ràng buộc trong không
gian Banach. Kết quả chỉ ra rằng với các điểm cực tiểu cô lập, điều kiện đủ
cũng là điều kiện cần, và nhƣ vậy ta nhận đƣợc một điều kiện đặc trƣng cho
cực tiểu cô lập.
Chƣơng II trình bày các nghiên cứu về các điểm cực tiểu Pareto địa
phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của B.Jiménez [6] và
các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto địa phƣơng
chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7]
cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn trong không gian định chuẩn với
ràng buộc tập, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev
[5].
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Đỗ
Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại
học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên
cùng các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành
cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học Toán K15
đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm
luận văn.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4

Chƣơng I


( ) ( ),f x f x x U  
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Nếu bất đẳng thức này chặt với
0
xx
thì x
0
đƣợc gọi là cực tiểu địa phương
chặt.
Ký hiệu B và S tƣơng ứng là hình cầu đơn vị
 
:1x E x
và mặt
cầu đơn vị
 
:1x E x
trong E. Ta chỉ cần xét các phần tử của S thay cho
các phƣơng ( khác 0 ) trong E. Ký hiệu S là tôpô trên S. Tôpô S đƣợc dùng để
định nghĩa đạo hàm theo phƣơng của f. Ta chỉ hạn chế xét tôpô mạnh, tôpô
yếu, tôpô rời rạc và tôpô phản rời rạc ( tôpô tầm thƣờng ). Tôpô mạnh và tôpô
yếu trên S cảm sinh tƣơng ứng từ tôpô mạnh ( tôpô chuẩn ) và tôpô yếu trên
E. Mỗi tập con của S là mở đối với tôpô rời rạc, còn đối với tôpô phản rời rạc
trên S, chỉ có hai tập mở là S và tập rỗng.
Lấy u

S. Ta định nghĩa đạo hàm dưới cấp không của f tại x
0
theo

theo phƣơng u tồn tại và là một phần tử của
khi và chỉ khi các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u

, i = 0, 1, ..., n – 1 tồn tại trong . Ta
định nghĩa đạo hàm theo phương dưới cấp n nhƣ sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

1
( ) 0 0 ( ) 0
( , ') ( 0, )
0
!
( , ) ( ') ( , )
!
i
n
ni
n
t u u
i
nt
f x u lim inf f x tu f x u
ti



0
( , )S x u

(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x


,
 
0
( , )
n
S x u

(0) 0 0 ( ) 0
( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u f x f x u i n

   

và
( ) 0
( , ) 0
n
f x u


,
 



.
Định lý 1.1( Điều kiện cần cấp cao)
Giả sử x
0
là điểm cực tiểu địa phương của hàm
:fE
. Giả sử u

S
và n = n(u) là số nguyên không âm tuỳ ý sao cho tất cả các đạo
hàm
( ) 0
( , )
i
f x u

, i = 0,..., n, tồn tại.
Khi đó tất cả các điều kiện
 
0
i
( , )N x u
, i = 0, ..., n đều thỏa mãn.
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Lấy


0
( , )N x u
.
Mặt khác, giả sử với n = n(u), các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u

, i = 0,..., n tồn
tại,
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x


và
( ) 0
( , ) 0 ( 1,..., 1)
i
f x u i n

  
.
Khi đó,
1
0 (0) 0 ( ) 0
1
!
( ') ( , ) ( , )
!

Vì vậy
( ) 0
( , ) 0
n
f x u


. Đây chính là điều kiện
 
0
n
( , )N x u
. 
Để có điều kiện đủ, ta cần có bổ đề sau đây
Bổ đề 1.1
Giả sử hàm
:fE
. Lấy
0
xE
và u

S sao cho tồn tại một số
nguyên không âm n để điều kiện
 
0
n
S ( , )xu
thoả mãn.
Khi đó, tồn tại số


.
Từ định nghĩa của
(0) 0
( , )f x u

suy ra tồn tại
( ) 0u


và lân cận U =
U(u)

S của u sao cho

00
( ') ( )f x tu f x

  
với mọi 0 < t <

và
'u 
U(u).
Giả sử điều kiện
 
0
( , )
n
S x u

n
i
nt
f x tu f x f x tu f x u t
n t i




    



.
Theo định nghĩa của
( ) 0
( , )
n
f x u

, với số dƣơng t đủ nhỏ và
'u
đủ gần u, ta có
00
1
( ') ( ) 0
!
n
f x tu f x t
n

= U(u)

S của u ( đối với tôpô S ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
()u

và
'u 
U(u).
Do S compact cho nên S nằm trong hợp một số hữu hạn các lân cận
U(u), tức là S

( U(u
1
)

...

U(u
s
)) với u
1
, ..., u
s
nào đó.
Đặt

, và do đó
x
0
là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt của f. 
Hệ quả 1.1
Giả sử E là không gian Banach hữu hạn chiều và S là tôpô mạnh trên
S. Hàm
:fE
và đạo hàm dưới của f được xác định theo tôpô S. Giả sử
với mỗi u

S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện
 
0
( , )
n
S x u
thoả mãn. Khi đó, x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt của f.
Ví dụ 1.1
Cho E là không gian Banach tùy ý. Hàm
:fE
xác định bởi
f(x) =
x
.
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.

Tuy nhiên, đối với tôpô rời rạc, S là compact chỉ nếu S là tập hữu hạn, nghĩa
là chỉ trong trƣờng hợp một chiều. Ngoài trƣờng hợp một chiều, đạo hàm theo
phƣơng dƣới Dini không thể sử dụng đƣợc điều kiện đủ của định lý 1.2. Đạo
hàm Dini hữu ích trong điều kiện cần của định lý 1.1 bởi vì việc tính toán giới
hạn
0t 
thuận tiện hơn so với giới hạn
( , ') ( 0, )t u u
.
Trong trƣờng hợp tôpô S trên S là tôpô mạnh, ta sử dụng đạo hàm theo
phƣơng dƣới Hadamard. Hệ quả 1.1 cho thấy rằng đạo hàm Hadamard là hữu
ích cho các điều kiện đủ trong không gian Banach hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.2
Cho E = l
2
là không gian Hilbert thực gồm các dãy x = ( x
1
, ..., x
n
, ...)
trong đó
2
2
1
i
i
xx


  

11
( ở đây < . , . > là tích vô hƣớng trên l
2
).
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.
Với mỗi u = ( u
1
, ..., u
n
, ...) cố định thuộc mặt cầu đơn vị S

l
2
, các
điều sau thoả mãn:
1)
(0) 0
( , ) 0f x u


đối với mọi tôpô S trên S.
2)
(1) 0
( , ) ,f x u c u

 
nếu S là các tôpô rời rạc, mạnh hoặc yếu trên S
và

( ') ( , )f x tu f x u
t




=
1
( ')f tu
t
=
,'cu
.
Do đó,
(1) 0
'
( , ) , ' 0
uu
f x u lim inf c u

   
.
Sự hội tụ
k
uu
theo tôpô rời rạc nghĩa là
k
u
trùng với
u


0.
Điều đó nghĩa là
k
uu
theo tôpô mạnh. Do vậy đạo hàm
(1) 0
( , )f x u

theo
tôpô yếu và tôpô mạnh trên S là trùng nhau.
Lấy

> 0. Do c

l
2
nên tồn tại số nguyên dƣơng k sao cho
i
ik
c





.
Nếu
'u 
S mà

cho điểm cực tiểu cô lập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Ví dụ 1.3
Lấy E = và
()
m
f x x



với m là số nguyên không âm nào đó và
0 <

< 1.
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt.
Các đạo hàm Dini dƣới là
1)
( ) ( )
(0,1) (0, 1)
ii
ff


= 0, i = 0, ..., m .
2)


khi
0t 
(1.2)
nếu với mỗi số

> 0, tồn tại

> 0 sao cho

( ) ( )
n
t t t
  

với 0 < t <

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định lý 1.3
Các đa thức
0
()
n
i
i

i
, i = 0,...,n ( hay


), hoặc tồn tại số nguyên dương
k sao cho a
i
= b
i
, i = 0,...,k – 1, và a
k


b
k
.
Chứng minh
Giả sử


và a
i
= b
i
, i = 0,...,k – 1.
Chia hai vế bất đẳng thức (1.2) cho t
k
và qua giới hạn khi
0t 
, ta


,
'u 
U.
Tính chất này còn đƣợc viết dƣới dạng

0
( ) ( ') ( )
n
t f x tu o t

  
khi
( , ') ( 0, )t u u
.
Ta kí hiệu
0
( , , )
n
P f x u

là tập các đa thức
n
P


là cận dƣới của f tại x
0

theo phƣơng u.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Định lý 1.4 ( [5] )
Đạo hàm dưới
( ) 0
( , )
n
f x u

của hàm
:fE
tồn tại và là một phần tử
của khi và chỉ khi cận dưới đúng bậc n của f tại x
0
theo phương u tồn tại
và khi đó cận này là đa thức Taylor dưới

0 ( ) 0
0
1
( , , , ) ( , )
!
n
n i i
i
T f x u t f x u t
i




, nếu
0
( , , )
n
P f x u

khác rỗng,
nhưng f không có cận dưới đúng bậc n.
Sử dụng định lý 1.4, các điều kiện cần và đủ tối ƣu của mục 1.1 có thể
đƣợc biểu diễn dƣới ngôn ngữ của phép xấp xỉ đa thức. Ở đây, ta chỉ phát
biểu lại điều kiện đủ tối ƣu của định lý 1.2.
Định lý 1.5
Cho hàm
:fE
và
0
xE
. Giả sử S là tập compact đối với tôpô S.
Giả sử với mỗi u

S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) và cận dưới bậc n
0
()
n
i
i
i
t at



0
là điểm cực tiểu địa
phương chặt của f.
Chứng minh
Trƣớc hết giả sử tất cả các đạo hàm dƣới
( ) 0
( , )
i
f x u

, i = 0,...,n tồn tại
và hữu hạn. Do đó,
0
( ) ( , , , ) ( )
nn
t T f x u t o t



khi
0t 
,
trong đó
0
( , , , )
nn
T T f x u t


là đa thức Taylor dƣới duy nhất cấp n.

Nếu một bất đẳng thức chặt nào đó trong số các điều kiện này đúng và
m là chỉ số i đầu tiên thoả mãn tính chất này thì điều kiện này thực chất chính
là
 
0
( , )
m
S x u
.
Nếu không có bất đẳng thức chặt nào trong số các điều kiện này xuất
hiện thì
( ) 0
( , )
k
f x u

 
và
 
0
( , )
k
S x u
đúng.
Với mỗi trƣờng hợp đƣa ra, điều kiện đủ của định lý 1.2. đều thoả mãn.
Do đó, x
0
là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt. 

thoả mãn điều kiện đủ của định lý 1.5, do đó x
0
= 0 là điểm
cực tiểu địa phƣơng chặt của f .
Ví dụ 1.5
Cho hàm
:f 
xác định nhƣ sau
f (x) =
2
1
1 sin , 0,
0 , 0.
x x khi x
x
khi x



  








Hiển nhiên, x

Tiếp theo ta chỉ ra rằng đạo hàm theo phƣơng cấp cao có thể biểu diễn
dƣới ngôn ngữ hiệu chia.
Giả sử
:fE
. Ta nhắc lại: miền hữu hiệu của hàm f là tập

 
: ( ) dom f x E f x    
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Lấy
0
xE
và u
0
, ..., u
n


S là các phƣơng cho trƣớc. Giả sử t
0
, ..., t
n
là
các biến thực dƣơng khác nhau và
0
' ,..., ' S
n
uu






=
0
0
0
( ' )
()
n
ii
n
i
ij
j
ji
f x t u
tt








Ở đây
1


.
Ta thừa nhận rằng : hiệu chia cấp n xác định khi và chỉ khi
0
'
ii
x t u dom f
trừ ra nhiều nhất một số hạng. Nó hữu hạn khi và chỉ khi tất
cả các giá trị
0
( ' )
ii
f x t u
là hữu hạn.
Hiệu chia còn có thể đƣợc định nghĩa quy nạp nhƣ sau
0 0 0
0 0 0 0
( , ' , ) ( ' )f x u t f x t u  
,
và
0
00
( , ' ,..., ' , ,..., )
n
nn
f x u u t t
=

1 0 ' ' '
0 2 0 2

19
Tính chất sau đây là một trong số các tính chất chính của hiệu chia và
đƣợc sử dụng khi chứng minh biểu diễn lại đạo hàm theo phƣơng qua hiệu
chia.
0
( ')f x tu
=
1
0
00
1
( , ' ,..., ' , ' ,..., ' ) ( )
n
i
i i i
i
f x u u t t t





+
0
0 1 0 1
( , ' ,..., ' , ', ' ,..., ' , ) ( )
n
n n n
f x u u u t t t t


A
0
: =
00
( , ') ( 0, )
( , ', )
t u u
lim inf f x u t


=
(0) 0
( , )f x u

.
Đạo hàm
( ) 0
( , )
n
f x u

, n

1, tồn tại khi và chỉ khi các số A
0
,..., A
n-1
xác
định và hữu hạn. Khi đó,
A


là dãy tuỳ ý thoả mãn ba điều kiện sau:
1)
0
s
i
t 
,
s
i
uu
khi
s 
, với i = 0, ..., n – 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
2)
0

ss
ii
x t u dom f
với i = 0, 1, ..., n – 1,
3) A
i
=
0
00
( , ,..., , ,..., )
i s s s s






. (1.3)
Để tiện cho việc khai triển đạo hàm cấp hai, ta đƣa ra ký hiệu

0
21
( , , , ' , ' , )
f
t x u u u


=
0
2
1
( ' )
1
f x tu



–
0
1
1
( ' )

và

là số thực dƣơng thoả mãn
0'
1
x tu dom f


.
Với giả thiết
(0) 0
( , )f x u

và
(1) 0
( , )f x u

hữu hạn, ta nhận đƣợc biểu diễn
sau đây cho đạo hàm dƣới cấp hai
(2) 0
( , )f x u

:
(2) 0
( , )f x u

=
2
0 (0) 0 (1) 0
2



 
1
0 (0) 0
1
( , ' ) ( 0, )
1
( ' ) ( , )
uu
t lim inf f x tu f x u
t






  



=
21
0
2
2
( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, )
2(1 ) 1
( ' )

=
21
0
21
2
( , ' ) ( 0, ) ( , ' ) ( 0, )
2
( , , , ' , ' , )
f
t u u u u
lim inf lim sup t x u u u
t


   

. (1.5)
Trong các đẳng thức trên, sự hội tụ
1
( , ' ) ( 0, )uu


chỉ theo những
giá trị
1
( , ' )u

mà
0
1


0 (0) 0
1
11
( ' ) ( , )
(1 )
f x tu f x u

  






.
Sử dụng phép biểu diễn này và định lý 1.6, ta có thể thu đƣợc sự biểu diễn
(1.5). Từ các định lý 1.1, 1.2 ta có định lý sau cho trƣờng hợp cấp hai.
Định lý 1.7 ( Điều kiện cấp hai )
Cho hàm
:fE
và
0
Ex 
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22

(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x


và
(1) 0
( , ) 0f x u


thì
(2) 0
( , ) 0f x u


.
(B) Điều kiện đủ:Giả sử S compact đối với tôpô S. Giả sử với mỗi u

S,
một trong ba điều kiện sau được thoả mãn:
(b
0
)
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x


,
(b
1
)

là điểm cực tiểu địa phương chặt của f.
Ở đây đạo hàm
(1) 0
( , )f x u

và
(2) 0
( , )f x u

được biểu diễn lần lượt bởi
(1.3) và (1.5).
Ví dụ 1.6
Lấy E =
2
và hàm
:fE
xác định bởi

2
( ) 2 ( )f x r r r sin

  
,
trong đó
( , )r

là toạ độ cực của x , nghĩa là x = (x
1
, x
2


  
,
0 r sin


,
và
(1) 0
( , ) 2f x u sin



> 0.
Trong trƣờng hợp nếu u =
( 1, 0)
ta đƣợc
(1) 0
( , ) 0f x u


và do đó
điều kiện cấp hai phải sử dụng để thiết lập tính tối ƣu của x
0
.
Xét trƣờng hợp u = (1, 0). Phƣơng đơn vị v =
( , )cos sin

với
0

   
.
Do đó
0
2
1
( , , , , , ) 1
f
t x v v u
t

  
.
Bây giờ ta chỉ ra rằng điều kiện cấp hai trong định lý 1.7 thoả mãn. Với
u = (1, 0) , ta lấy lân cận của các vectơ đơn vị
W =
 
w w w 2
= ( , ):w cos sin
   

,
V =
 
v v v 1
= ( , ):v cos sin
   

, trong đó
12


   


  

