Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Trang III.1

Chương III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH
• ĐẠI CƯƠNG.
• HÀM HỆ THỐNG.
• HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION).
• CÁC MẠCH LỌC.
• CÁC LỌC THỰC TẾ.
• CÁC LỌC TÁC ĐỘNG.
• TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG.
• CÔNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG.
•
PHÂN TÍCH PHỔ.Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Trang III.2

I. ĐẠI CƯƠNG:
Một hệ thống là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở ngỏ ra với mỗi
hàm thời gian ơ ngỏ vào.
Sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống vẽ ở hình 3. 1. r(t)
s(t)


Nếu

)t(s)t(r
11
→
)t(s)t(r
22
→

Thì:
)t(s)t(s)t(r)t(r
2121
+→+
(3.1)
Một khái niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r
1
(t) → s
1
(t) và
r
2
(t) → s
2
(t). Hệ thống được nói là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được giữ đúng với mọi trị giá
của các hằng a và b:

)t(s.b)t(s.a)t(r.b)t(r.a
2121
+→+
(3.2)

Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Trang III.3

(3.4)
∑
∞
−∞=
→τ∆
τ∆τ∆−δτ∆=
n
0
)nt()n(rlim)t(r
Phương trình (3.4) biểu diễn tổng trọng lượng của xung lực bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là
một tổng các đáp ứng ra bị trễ của một xung lực duy nhất.
Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung lực duy nhất gây ra và ký hiệu đó là h(t)
(đáp ứng xung lực).
Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là: (3.5)
∑
∞
−∞=
→τ∆
τ∆τ∆−τ∆=
n
0
)nt(h)n(rlim)t(s
Nếu lấy giới hạn, nó trở thành tích phân:
∫


H(f) là hàm chuyển hoặc hàm hệ thống. R(f)
S(f)
)f(H =

III.HÀM CHUYỂN PHỨC: (complex transfer funtion)
Hàm chuyển phức của một hệ là tỉ số phasor ở ngỏ ra và phasor ở ngỏ vào. Phasor là một
số phức biểu diễn biên độ và pha của hàm sin. Tỉ số các phasor là một hàm phức của tần số.
Trong trường hợp đặt biệt, ngõ vào là dòng điện và ngõ ra là điện thế, thì hàm chuyển phức là
một tổng trở phức (complex impedance).
Td
:
Xem Hình 3.3. Trong đó, i
1
(t) là ngõ vào và v(t) là ngõ ra.
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Trang III.4Hình 3.3
Hàm chuyển cho bởi:

f4j1
f4j

) là một phiên bản của r(t) - Trong đó A và t
0
là những hằng thực bất
kỳ. A không thể bằng zero.
F
→ Ar (t - t
0
) ↔ Ae
- j2πf
t
o
R(f) (3.11)
Ta xem đó như là Output của một hệ tuyến tính với input là r(t) và hàm hệ thống
H(f) = Ae
-
j2πf
t
o
(3.12)

H(f) là hàm phức, được vẽ ở Hình 3.4 (xuất và pha).

π−
m
m
ftj2
ff,0
ff,Ae
)f(H
0

Hàm chuyển của mạch hạ thông lý tưởng được vẽ ở Hình 3.5. Nhớ là, vì h(t) thì thực, nên
suất của H(f) thì chẳn và pha thì lẻ. (Hình 3.4) Hình 3.5: Đặc tính của lọc hạ thông lý tưởng.
)f(H
)f(Hph
f
m
-f
m
-f
m
f
m
A
Đáp ứng xung` lực của lọc hạ thông lý tưỏng có được bằng cách tính biến đổi
F
ngược.

(3.13)

L
và f
H
. Nó tác
động như một hệ không méo lý tưởng, tín hiệu ra không chứa những thành phần tần số nằm
ngoài dãy thông lọc. Hàm hệ thống của nó:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
=
π−
khaïcPháön ,0
fff,Ae
)f(H
HL
ftj2
0

(3.14)

Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Trang III.6Hình 3.7: Hàm hệ thống của lọc dãy thông lý tưởng.
Đáp ứng xung lực của lọc, có thể tính bằng càch

(3.15)
2
ff
HL
−
2
ff
LH
−
-f
H
-f
L
f
H
f
L
Hình 3.8: Đặc tính của lọc dãy và hạ thông.
Nếu ta định nghĩa điểm giữa (midpoint) của dãy thông (trung bình của f
L
và f
H
)
là f
av
:
2
ff
f
HL

(t)cos2
π
f
av
t= 2h
LP
(t)cos[
π
(f
L
+ f
H
)t ] (3.16)
Từ pt (3.13) ta có :
t
)tf(fAsin
)t(h
LH
LP
π
−π
=
(3.17)
Kết hợp (3.16) và (3.17) thêm vào tính chất dời thời gian, ta tìm được đáp ứng xung lực
của dãy thông lý tưởng:
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
()

(f): Thừa số pha.
Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) không
là hằng, ta có sự méo biên độ. Nếu
θ
(f) không tuyến tính với f, ta có sự méo pha.
Méo biên độ.
Trước hết Giả sử
θ
(f) tuyến tính với f.
Hàm chuyển có dạng:
H(f) = A(f)
e
-
j2πf
t
o
(3.20)
Trong đó hằng số tỉ lệ của pha là t
0
, vì nó biểu diễn cho thời trễ của kênh.
Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển
A(f) thành chuổi Fonrier.
∑
∞
=
=
0n
Hn(f))f(H
(3.21)
Các hạng của tổng có dạng

Hàm hệ thống của lọc này là:
0
ft2j
m
e.f
f
2
acosA)f(H
π−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
+=⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨

−π+=
π−
o
m
o
m
ft2j
t
f
1
fj2expt
f
1
fj2expae.A
0

Nếu input là r(t) vào lọc cosine bị giới hạn bởi băng tần thì Output là:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
⎟
⎟
⎠
⎞

∑
∞
=
π−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
=
0n
ft2j
m
n
0
e.
f
fn
cos a)f(H
(3.24)
Thì Output do một input r(t) là :

s(t)
a
2
rt

⎦
⎥
=
∞
∑
(3.25) Thí dụ:
Xem lọc có đặc tính tam giác như Hình 3.11. Giả sử pha thì tuyến tính, với độ dốc
-2
π
t
0
. Tìm Output của mạch này khi input là
t
t400
sin)t(r
π
=Hình 3.11
Giải :
Khai triển H(f) thành chuổi
F......
1000

Trang III.9

r(t) bị giới hạn trong khoảng sao cho tất cả tần số đều qua mạch lọc. Điều này đúng vì R(f)
= 0 tại các tần số trên 200/2
π
và mạch lọc cắt tại f = 1000/
π
. Nếu ta giữ 3 số hạng khác không
đầu tiên thì Output sẽ là: s(t) = r(t) * h(t).
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
9
rt
3
1000
trt
3
1000
t
2
00
π
ππ

Kết quả này được vẽ như hình 3.12 với t
o
= 0,05 sec.
Những đỉnh đánh dấu X là những đỉnh không méo của s(t).
Hình 3.12
Méo pha :
Sự thay đổi pha từ trường hợp không méo (pha tuyến tính) có thể được đặc trưng bằng sự

vào.