Chng 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số  Hunh Thái Hồng – B mơn iu khin T đng

1

Chương 5
TÍNH HỘI TỤ VÀ PHÂN BỐ TIỆM CẬN
CỦA THAM SỐ ƯỚC LƯNG Chương 5: TÍNH HỘI TỤ VÀ PHÂN BỐ TIỆM CẬN CỦA THAM SỐ ƯỚC
LƯNG
5.1. Giới thiệu
5.2. Tính hội tụ của tham số ước lượng
5.3. Phân bố tiệm cận của tham số ước lượng Tham khảo:
[1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user.
chương 8, 9

5.1 GIỚI THIỆU

Chương 4 đã đề cập đến các loại cấu trúc mô hình, các phương pháp ước
lượng tham số và các thuật toán ước ước lượng tham số. Về nguyên tắc,
chúng ta đã ước lượng được tham số
N

teqHtuqGty  += (5.1)

5.2.1 Điều kiện đối với tập dữ liệu
Cho tập dữ liệu:

{ }
)(),(,),1(),1( NuNyuyZ
N
K=
(5.2)
khi
∞→N
ta có tập
∞
Z
. Chng 5: Tính hội tụ và phân bố tiệm cận của tham số  Hunh Thái Hồng – B mơn iu khin T đng

2
Dữ liệu
N
Z có thể tạo ra từ thí nghiệm thu thập dữ liệu vòng hở hoặc
vòng kín
. Sơ đồ khối thí nghiệm thu thập dữ liệu như hình 5.1. Chú ý rằng
nếu thí nghiệm vòng hở thì hàm truyền của khối chỉnh đònh bằng 0.

)2(
1
)1(
)()()()()(
k
t
k
t
ktekdktrkdty (5.3)

∑∑
∞
=
∞
=
−+−=
1
0
)4(
1
)3(
)()()()()(
k
t
k
t
ktekdktrkdtu (5.4)
trong đó:
1.
{}

)(ty
,
{}
)(tu
liên kết gần dừng.

•
Nhắc lại các khái niệm:
1. Moment bậc k
của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân bố xác
suất )(xf
X
là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên
k
aX )( − . Nếu EXa = ta gọi
đó là moment trung tâm, ký hiệu là
k
µ
; nếu
0
=a
ta gọi đó là moment gốc,
ký hiệu là
k
v .

∫
+∞
∞−
−= dxxfax

−
=
1
)()(
k
k
qkgqG
αα
, A∈
α
. Họ bộ lọc )(qG
α
được
gọi là ổn đònh đều
nếu )()( kgkg ≤
α
, A∈∀
α
và ∞≤
∑
∞
=1
)(
k
kg .
3. Hai tín hiệu
{}
)(ty và
{ }
)(tu được gọi là liên kết gần dừng nếu

λ
và moment bò chặn đến bậc
δ
+4
,
0>
δ
;
)(
0
qH
là bộ lọc
ổn đònh, khả đảo và monic
.

Cho cấu trúc mô hình tuyến tính bất biến:

{ }
M
M DqHqG ∈ ),(),,(: (5.8)
Ta cần xác đònh xem hệ thống thật (5.7) có nằm trong tập hợp đònh nghóa ở
biểu thức (5.8) hay không?

Ký hiệu:

{
);(),(|),(
0
ωω
jj

F
, các bộ lọc:
)()]()(1[
0
1
0
qGqFqG
−
+ , )()]()(1[
0
1
0
qHqFqG
−
+

)()]()(1)[(
0
1
0
qGqFqGqF
−
+ , )()]()(1)[(
0
1
0
qHqFqGqF
−
+
ổn đònh, và

:
0)]())()([(
2
21
=− tzqWqWE (5.11)
thì
)()(
11
ωω
jj
eWeW ≡
tại hầu hết mọi tần số
ω
.

• Tập dữ liệu gần dừng
∞
Z được gọi là giàu thông tin nếu tập dữ liệu
này đủ giàu thông tin đối với tập hợp mô hình
*
L chứa tất cả các mô hình
tuyến tính bất biến.

Đònh lý 5.1: (Đònh lý 8.1, [Ljung,1999]) Tính giàu thông tin của tập dữ liệu
thực nghiệm
Tập dữ liệu gần dừng
∞
Z giàu thông tin nếu ma trận phổ )(
ω
z

+∞
−∞=
−
=Φ
τ
ωτ
τω
j
uu
eR )()(
(5.13)

∑
+∞
−∞=
−
=Φ
τ
ωτ
τω
j
yy
eR )()( (5.14)

∑
+∞
−∞=
−
=Φ
τ

t
N
y
tytEy
N
tytyER
1
)()(
1
lim)()()(
τττ
(5.17)

∑
=
∞→
−=−=
N
t
N
uy
tytEu
N
tytuER
1
)()(
1
lim)()()(
τττ
(5.18)

N
N
t
N
ZV
1
2
),(
1
),(
θθ ε
(5.20)
Đặt:
∑
=
∞→
==
N
t
N
tE
N
tEV
1
22
)],([
1
lim)],([)(
θθθ εε
(5.21)

nghiệm thỏa mãn giả thiết D1 thì:

CN
D→
θ
ˆ
với xác suất bằng 1 khi
∞→N (5.22)
trong đó:







′
=∈==
∈
′
∈
)(min)(|)(minarg
θθθθ
θθ
VVDVD
DD
C
MM
M
(5.23)

=
=
N
t
N
N
tl
N
ZV
1
)),,((
1
),(
θθθ ε
(5.25)
và cấu trúc mô hình phi tuyến, biến đổi theo thời gian:
),,(),(
ˆ
θθ
tZgty
t
=
Kết quả tổng quát: )]),,(([minarg
ˆ
θθθ
θ
tlE

∗
? (với
0
θ
là tham số
“thật” của hệ thống). Nếu
0
θθ
=
∗
thì ước lượng
N
θ
ˆ
được gọi là ước lượng
vững.

Đònh lý 5.3: (Đònh lý 8.3, [Ljung,1999]) Tính vững của ước lượng trong trường
hợp S
∈
M và tiêu chuẩn ước lượng dạng toàn phương
Giả thiết:
• tập dữ liệu
∞
Z thỏa mãn giả thiết D1 và S1,
• M là cấu trúc mô hình tuyến tính ổn đònh đều sao cho S ∈ M,
•
∞
Z đủ giàu thông tin đối với M.
• Nếu tín hiệu vào có chứa thành phần hồi tiếp từ ngõ ra thì giả thiết có

C
MM
M
,
)],([)(
2
θθ
tEV
ε
=

{
);(),(|),(
0
ωω
jj
T
eGeGDD =∈=
θθ
M
MS

}
πωπ
ωω
≤≤−= );(),(
0
jj
eHeH
θ

ˆ
,(
0
0
ωω
ωω
j
N
j
j
N
j
eHeH
eGeG
θ
θ
với xác suất bằng 1 khi ∞→N