Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo
ĐỀ THAM KHẢO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi : TOÁN, khối B,D.
Ngày thi :
02.03.2009
Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần
ĐỀ 03
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
2 3
2
x
y
x
+
=
−

( )
C

1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m

π π
   
− = +
   
   

Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân
(
)
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh bên bằng
a
,góc ở đáy của mặt bên là
α
.

( ) ( ) ( )
' 6;3; 1 , ' 0;2; 5 , ' 3; 4;1 .A B C− −

1.
Tìm tọa độ điểm
'
D
sao cho hai tứ diện
, ' ' ' 'ABCD A B C D
có cùng trọng tâm.
2.
Tìm quỹ tích những điểm
M
sao cho
3 2MA MB MC MD MA MB− + + = −
     
.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho
,
x y
là hai số không âm và thỏa mãn
1
x y
+ =
.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức :
2
3 3
x y
A

đến
( )
Q
lớn nhất.
2.
Viết phương trình mặt cầu
( )
C
có tâm nằm trên đường thẳng
( )
d
đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng
( ) ( )
: 3 4 3 0, : 2 2 39 0
x y x y z
α β
+ + = + − + =
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
( )
2
4
2
x x
f x
+ −
=

GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt .
Đáp án đăng tải tại và một số trang web toán sau 15h cùng ngày .

C
tại
2
điểm phân biệt mà
2
tiếp
tuyến của
( )
C
tại đó song song với nhau.
Giả sử
( )
d
cắt
( )
C
tại
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
, tiếp tuyến tại
,
A B
lần lượt có hệ số góc là :
( )
( )
1
2
1

C
tại
2
điểm phân biệt mà
2
tiếp tuyến của
( )
C
tại đó song song với nhau
khi và chỉ khi phương trình :
( )
2 3
2 1
2
x
x m
x
+
= +
−
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
( ) ( )
1 2
' '
y x y x
=


2
m m
m m m
m


∆ = − + + >

⇔ + + − − ≠ ⇔ = −


−

=
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình :
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
1
x x x x x+ + + + + + + =

liên tục và đồng biến trên R
Khi đó
( )
1
2 2 1 3
5
x x x⇔ + = − ⇔ = − .

2.
Giải phương trình :
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
   
   

Đặt :
3 3 sin 3 sin(3 ) sin 3
4 4
4
2 2 sin 2 sin 2 sin 2
2 2
x t x t t
t x
x t x t t
π π
π π

sin sin .sin cos .cosa b a b a b± = ±

Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân
(
)
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Cách 1 :
( )
( )
2 2
3 3
0 0
sin 1
cos
6
sin 3 cos
cos
6

6 6
sin
sin 3 cos sin 3 cos
x
x
I dx dx
x x x x
π π
π π
 
 
− −
 
 
 
 
= =
+ +
∫ ∫Cách 3:
( )
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx

?
1
3
2 sin 3 cos
I J a x
I
J I
x x
π
π
π

 

+ = −
 

 


⇒ =



− + = −

+




= −

Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh bên bằng
a
,góc ở đáy của mặt bên là
α
.
Chứng minh :
( ) ( )
3 2 0 0
2
cos sin 30 sin 30
3
V a
α α α= + −
.
Gọi
,SH SI
lần lượt là đường cao, trong đoạn của hình chóp .
Theo giả thiết , ta có

;SBC SB aα= =
.
2
2
1 1 3 3
. .
3 3 4 12

−
= − = − → =

( )
3 2 2
2 0
1
cos 3 4 cos
3
1 cos2 1
3 4 cos 3 4 2 cos2 2 cos 60 cos 2
2 2
V a α α
α
α α α
= −
 
+



− = − = − = −





 
( ) ( )
3 2 0 0

.
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
' 0, 1
1 2 2 1 2 2
f x x f x
x x x x x x
= − − = − > ∀ > −
⇒
+ + + + + +
liên tục và đồng biến
trên khoảng
( )
1;
− +∞
và
( ) ( )
1
lim lim 0
x x
f x f x
+
→ →+∞
= −∞ =
, suy ra
( )

( )
' '; '; '
D x y z
là tọa độ cần tìm và
, 'G G
lần lượt là trọng tâm của tứ diện
, ' ' ' 'ABCD A B C D

G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
nên có tọa độ
5 5 15
; ;
4 4 4
G
 
 
 
. Theo bài toán hai tứ diện
, ' ' ' 'ABCD A B C D

có cùng trọng tâm, nên
5 5 15
' ; ;
4 4 4
G
 
 
 

x x x x
x
x
y y y y
y y D
z
z z z z
z

+ + +
=


= −

+ + +


= ⇔ = − ⇒ − −
 
 
=
+ + +


=



2.

3 2 3 8;3 10;3 1
2; 4; 3
2; 2; 1
IA x y z
IB x y z
IA IB IC ID x y z
IC x y z
ID x y z

= − − +


= − − +

⇒ − + + = − − −

= − − −


= − − +




   



Tọa độ điểm
( )

3 2 3 3 2 3 , .MA MB MC MD MI IA IB IC ID MI I MA MB AB− + + = + − + + = ∀ − =
            
.
1
3 2 3
3
MA MB MC MD MA MB MI AB MI AB− + + = − ⇔ = ⇔ =
       
.
Vậy quỹ tích điểm
M
là mặt cầu tâm
8 10 1
; ;
3 3 3
I
 
 
 
, bán kính
1 1
3 3
R AB= = và có phương trình mặt cầu :
2 2 2
8 10 1 1
3 3 3 9
x y z
     
− + − + − =
     

Giả sử mặt phẳng
( )
Q có phương trình dạng :
2 2 2
0, 0ax by cz d a b c+ + + = + + >
.
( )
d
có vectơ chỉ phương là
( )
2;1;2u =

và qua điểm
( )
1;0;2N
,
( )
Q
có vectơ pháp tuyến là
( )
; ; 0n a b c= ≠
 
.
Mặt phẳng
( )
Q
chứa
( )
d
khi



 
.
Khoảng cách từ
A
đến
( )
Q
:
( )
( )
( )
/
2 2 2 2
2 2
2
2 5 3
2 5 3
2
2
2
A Q
a b
a b a b
a b c d
d
a b c
a b
a b

Q
lớn nhất khi
1, 4 1, 3a b c d
= = − ⇒ = = −
.
Mặt phẳng
( )
: 4 3 0Q x y z
− + − =
.
Cách khác ( hay )