Bài tập lớn Tự động hoá quá trình sản xuất
Sinh viên: Nguyễn Quang Huy
Lớp :Tự động hoá 1- K43
1
Bài số 3
Đề bài : Cho một hệ thống động có mô tả toán học như sau:

1
x
&
= x
2
+ u
12
x
&
= -x
1
– 2x
2
+ u
2

Với điều kiện đầu : x
1
(0) = 10
x
2

hàm toán học J nào đó .
Các chỉ tiêu tối ưu trong thực tế có thể là:
+) Quá trình quá độ ngắn nhất (thời gian).
+) Độ quá điều chỉnh
max
δ
nhỏ nhất.
+) Sai lệch tĩnh nhỏ nhất.
+) Năng lượng tiêu thụ nhỏ nhất.
+) Giá thành rẻ nhất.
+) Cấu trúc đơn giản nhất, độ ổn định cao nhất......
Về tổng quát , tiêu chuẩn tối ưu J là một phiếm hàm thường phụ thuộc vào các
thông số, cấu trúc của hệ thống. Trong thực tế J được đề ra sẽ bị hạn chế bởi nhi
ều
điều kiện và tính chất của hệ thống. Hệ thống đảm bảo tối ưu theo tiêu chuẩn J tức
hệ thống có trạng thái sao hàmg J đạt đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Nghiên cứu hệ thống điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) tức quan tâm tới:
+) Xác lập bài toán tối ưu , các điều kiện biên và tiêu chuẩn tối ư
u .
+) Xác định được luật điều khiển (algorithm) để cho quá trình cần
điều khiển là tối ưu, tổng hợp được hệ đó và xây dựng được hệ thống đó trong điều
kiện thực tế.
Hệ thống ĐKTƯ có thể được phân thành hai loại chính :
+) Hệ thống tối ưu tiền định tức hệ thống tối ưu có đầy
đủ tin tức
về đối tượng cần điều khiển .
+) Hệ thống tối ưu ngẫu nhiên tức hệ thống tối ưu không có đầy đủ
tin tức về đối tượng cần điều khiển.
Ngoài ra ĐKTƯ còn có thể phân loại trên quan điểm hệ thống liên tục thông số tập
trung , hệ phân bố rải hệ số.

vector X(t
0
) và X(t
1
) có thể bị hạn chế bởi điều kiện cho trước. Bài toán được đặt ra
là tìm các phần tử của vector điều khiển U(t), t
0
≤ t1 sao cho các tiểu hàm tối ưu của
hệ
∫
+
+=
1
0
)](),([)]([)]([
110
t
t
n
dttutxftxGtuI
(2.2)
t
0
: Thời gian đầu của qúa trình điều khiển.
t
1
: Thời gian cuối của quá trình điều khiển.
Giả thiết tồn tại U
*
(t) tối ưu sao cho I[u(t)] ≥ I[u

⎜
⎝
⎛
δ
(2.5)
⇒
dt
xd
dt
dx )(
δ
δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(2.6)
Giả thiết ở gần trạng thái tối ưu cho phép :
u
u
f
x
x
f
uxf
δδδ
⎟

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
L
MLMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
(2.8)


∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
n
nn
n
n
u
f
u
f
u
f
u

thống các phương trình (2.1), (2.6) và (2.7) ta có thêm phương trình sau :
u
u
f
x
x
f
dt
xd
δδ
δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
)(

t
T
n
T
n
T
t
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠

u
f
x
x
f
dt
xd
TTT
δλδλ
δ
λ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
)(

0
)(
t
t
TTT
dtu
u
f
x
x
f
dt
xd
δλδλ
δ
λ
(2.14)
Thay vào phương trình (2.12) ta có
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥

⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞

T
n
T
T
T
n
T
t
1
0
111
)1(
)1(
δλδδ
λ
λδδδ
10 tt
T
tt
T
xx
==
−+
δλδλ
(2.15)
Nếu hàm Hamiltơn có dạng :
H = f
n+1
+ λ
T

1
0
0
t
t
T
udt
u
H
I
δδ
(2.18) ⇒
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
u
H
(2.19)
Điều kiện cuối cho vector λ(t) là:
11
)(
tt
T

d
t
dH
x
H
dt
d
dt
dxH
uxf
H
λ
λλ
(2.21,2.22,2.23)
Nếu đại lượng điều khiển : α
i
≤ u
i
(t) ≤ β
i
;i = 1,2,3.....(ở đây α
i
và β
i
là các hằng
số) Từ phương trình (2.18) ta chú ý rằng nếu δu(t) là bất kỳ thì điều kiện cực trị là:
0;
*
1
>


[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
+
===
212
12
21
2
,
uxx
ux
dt
dX
xxX
T
&&
&

f
1
(x(t),u(t)) = x
2
+ u

= 1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
21
10
x
f
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎟

Lớp :Tự động hoá 1- K43
5
01,0
01,0
22
2
11
1
=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

12
1
1
2 x
x
H
dt
d
x
x
H
dt
d
λλ
λ
λ
λ

⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=
−=
2122
121
2 x
x

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−−=
+=
+−=
+=
2122
121
2122
121
2
102
10
uxxx
uxx
xuuu
xuu
&
&
&
&
(3.5)
Biến đổi Laplaces hệ các phương trình trên:
Ta được pu
1
(p) = u

Sau khi được hệ bốn phương trình trên ta tiến hành số hoá chúng:
Với
1
12
+
−
=
z
z
T
p
; T là thời gian cắt mẫu.
Tiến hành biến đổi
Ta được kết quả sau
A1 = 4 + t*t + 4*t; B1 = 2*t*t - 8; C1 = 4 - 4*t + 4*t*t;
D1 = 20*t*t - 20*t; E1 = 40*t*t; F1 = 20*t*t + 20*t; G1 = 10*t*t ; H1 = 10*t*t +
10*t ; K1 = 10*t;
A2 = -C1 ; B2 = -B1 ; C2 = -A1; D2 = 100*t*t;E2 = 200*t*t;F2 = -200*t;G2= -F2
Bài tập lớn Tự động hoá quá trình sản xuất
Sinh viên: Nguyễn Quang Huy
Lớp :Tự động hoá 1- K43
6
A3 = 4 + t*t ; B3 = 2*t*t - 8; C3 = 4 + 4*t*t;
D3 = 2*t - 2; E3 = 4*t; F3 = 2*t + 2; G3 = t*t;
H3 = 2*t*t ; K3 = t*t;
A4 = 4 + t*t -4*t ; B4 = 2*t*t - 8; C4 = 4 + 4*t*t + 4*t;
D4 = -t*t; E4 = -2*D4; F4 = D4 ; G4 = 2*t;
H4 = -2*t;
u1(i+2) = ( D1*x1(i+1) + E1*x1(i) + F1*x1(i-1) + G1*x2(i+1) + H1*x2(i) +
K1*x2(i-1) -B1*u1(i+1) -C1*u1(i))/A1;

end >> [x1,x2,u1,u2]=TT(.01,100)
x1 =
1.0e+013 *
Columns 1 through 6
0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 7 through 12
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 13 through 18
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 19 through 24
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 25 through 30
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000