DongPhD Problems Book Series
Tuyển tập Đề thi Cao học
môn Toán
(1998 – 2008)
Cuốn sách bao gồm các đề thi tuyển sinh sau đại học của các trường ĐHQG Hà
Nội, Đại học Sư phạm TPHCM, Đại học Huế, Đại học Vinh, Đại học Quy Nhơn,
Viện Toán, Đại học Kinh tế Quốc dân.
Contributors:
Ngô Quốc Anh
Đặng Xuân Cương
DongPhD
RobinHood
Nguyễn Đình Hoàng Nhân
Trần Mậu Quý
Bản điện tử chính thức có tại

Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu I:
Cho không gian mêtric X với E, F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tập
đóng. Đặt d(E, F ) = inf
x∈E,y∈F
d(x, y)
a) Chứng minh tồn tại x
0
∈ E sao cho d(x
0
, F ) = d(E, F ).

Cho (X, µ) là không gian có độ đo và B ⊂ X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo được
f : X → N. Với n ∈ N, ta đặt:
B
n
= {x ∈ B : |f(x)| ≤ n}
Chứng minh rằng với mọi n thì B
n
là tập đo được và
lim
n→∞
µ(B
n
) = µ(b)
Câu IV:
Tính tích phân sau đây:
lim
n→∞
1

−1
x + x
2
e
nx
1 + e
nx
dx
Câu V:
Cho X là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và e
n

MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Bài I: Cho A là vành giao hoán có đơn vị.
a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A.
b) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi
A
/
M
là trường.
c) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh: Nếu ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch
trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A.
Bài II: a) Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n
phần tử.
Chứng minh ∀x ∈ G x
2
∈ H
b) Trong nhóm đối xứng S
4
(nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc
của các nhóm con xiclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3.
Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con:
A =

m
n
∈ Q/n là số lẻ

a) Chứng minh A là vành con của Q.
b) Tìm các phần tử khả nghịch trong vành A.
c) Chứng minh vành con A là một vành chính.


n + 2
n + 1

n(n+1)
x
n
Câu 2: Cho hàm số f : R
2
→ R xác định bởi:
f(x, y) =



2xy
x
2
+ y
2
, khi (x, y) = (0, 0)
0 , khi (x, y) = (0, 0)
a) Xét sự liên tục của f trên R
2
;
b) Tính các đạo hàm riêng của f trên R
2
.
Câu 3: Tính tích phân

D

3 7 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0












Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f : R
4
→ R
3
có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là


1 0 2 1
2 3 −1 1
−2 0 −5 3


Hãy xác định nhân và ảnh của f. Hỏi f có là đơn cấu, toàn cấu hay không? Vì sao?
Câu 7: Cho ma trận





a) Tính det A
b) Tính rank A.
Câu 2 : Cho B là ma trận vuông cấp n, (B)
ij
= 1 hoặc (B)
ij
= −1 với mọi i, j. Chứng minh
det B chia hết cho 2
n−1
.
Câu 3 : Cho n là một số tự nhiên (n ≥ 1) , R
n
[x] là tập các đa thức với hệ số thực bậc bé hơn
hoặc bằng n. Biết rằng R
n
[x] với phép cộng các đa thức và phép nhân một số với một
đa thức là một không gian vectơ trên R và 1, x, . . . , x
n
(∗) là một cơ sở của R
n
[x].
Cho ánh xạ f : R
n
[x] → f : R
n
[x]
p(x) → p(x) − xp
′

a. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ L.
b. Tìm một cơ sở và số chiều của L.
c. Tìm một cơ sở trực chuẩn của L.
Câu 5 : Cho E là không gian vec tơ Euclide, tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ E, kí hiệu là
< x, y > và cho ϕ : E → E là ánh xạ thoả mãn < ϕ(x), ϕ(y) > = < x, y > ∀x, y ∈ E.
Chứng minh ϕ là ánh xạ tuyến tính.
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh không được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Kí hiệu :
• n Q là trường số hữu tỉ, R là trường số thực, C là trường số phức, Z là vành số nguyên.
• Z
p
là vành thương Z/pZ.
Câu 1 : (2đ + 1đ)
1. Cho (G,·) là một nhóm giao hoán hữu hạn có mn phần tử, với m, n nguyên tố cùng

4
+ 1 ∈ K[x], với K là một trường có đơn vị là 1.
Hãy xét tính bất khả qui của f(x) trong K[x] đối với từng trường hợp sau :
a. K = Q
b. K = Z
5
c. K = Z
3
Câu 4 : (2đ)
Cho số phức α = −1 + i
√
2 và đồng cấu vành ϕ : R[x] → C xác định bởi ϕf = f (α).
Chứng minh ϕ là toàn ánh và suy ra
C
∼
=
R[x]

x
2
− 2x + 3
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MÔN CƠ BẢN : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)

+∞

n=1

n + 1
3n + 2

n
(x − 2)
n
.
Câu 3 : Gọi M = {x ∈ C([0, 1])|x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}
a. Chứng minh rằng M là tập đóng không rỗng và bị chặn trọng không gian mêtric
C([0, 1]) với mêtric
d(x, y) = max
0≤t≤1
|x(t) − y(t)|, với x(t), y(t) ∈ C([0, 1]).
b. Xét f : C([0, 1]) → R xác định bởi f(x) =

1
0
x
2
(t) dt. Chứng minh rằng f liên tục
trên M nhưng f không đạt được giá trị nhỏ nhất trên M. Từ đó suy ra M không
phải là tập compact trong C([0, 1]).
Câu 4 : Cho f : R
3
→ R
3

2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1).
b. Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu.
c. Khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf.
d. Với a = −3, f có chéo hóa được không ? Trong trường hợp f chéo hóa được, hãy tìm
một cơ sở để ma trận của f với cơ sở đó có dạng chéo.
Câu 5 : Cho dạng toàn phương q(x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2ax
1
x

1
, Ker f
1
.
Χ♥υ ΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ C
⋆
λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ. Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠
f : C
⋆
→ C
⋆
, f (α) =
α, g : C
⋆
→ C
⋆
, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm, →←ν χ⊇υ, το∝ν
χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅m Im f, Ker f.
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝m
τη∝νη mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G. Γι∂ σ g ∈ G. ♣∅τ
÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f) = g
−1
fg. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηm.
Χ♥υ Ις. C[x] λ∝ ϖ∝νη. ♣∅τ ÷νη ξ≠
ϕ : C [x] → C [x] ,
f (x) →
f (x)
(→↑χ ηιυ λ∝
a
0

, a
3
∈ R
3
τηεο τηαm σ a
a
1
= (1, a, 1) ,
a
2
= (1, 1, a) ,
a
3
= (a, 1, 1) .
Τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a
1
, a
2
, a
3
} κηι a = −2 ηο∅χ a = 1.
Χ♥υ ΙΙ. Βι∏τ R
5
[x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν 5. Χηο f (x) = 1 + x
2
+
x
3
+ x
4

2 −1 0


.
χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f
−1
? Τ⋅m ϖ∠χ
τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f
−1
.
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ
A =

a b
2b a

.
ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ?
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Τ⊄π S
1
χ÷χ σ πηχ χ m↔ →υν β≈νγ 1 λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm νη♥ν χ÷χ σ πηχ
κη÷χ 0.
2. ¸νη ξ≠ f : R → S
1
χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡

3
χ mα τρ⊄ν →ι ϖι χ←
σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο?
2. ςι a = 3, b = 4, c = 5 ϖ∝ d = 2 η•ψ τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο
B = Q
T
AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ Ις. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ mτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ
σαο χηο ϕ
p−1
= 0 ϖ∝ ϕ
p
= 0. Γι∂ σ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p
τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x λ∝ mτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕ
p−1
(x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ←

x, ϕ (x) , ϕ
2
(x) , ..., ϕ
p−1
(x)

→χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. p ≤ n.
3. ϕ χη¬ χ mτ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ λ = 0.
4. Ν∏υ E − A λ∝ mα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ mα τρ⊄ν A
κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ mα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒).
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι

1
− 7x
2
+ 8x
3
, 6x
1
− 7x
2
+ 7x
3
) .
1. Τ⋅m γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ.
2. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ mτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ
→ mα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
4
ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} .
1. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ
γιαο L
⊥
.
2. Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4). Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L
⊥
σαο χηο x = y+z.
Χ♥υ Ις.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η

f
2
σαο χηο ϕ(x, y) = f
1
(x) + f
2
(y) ϖι mι x, y ∈ V .
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K
′
, ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α
ϖ∝νη G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K
′
.
2. Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι
a ⊕ b = a + b − 1
a ◦ b = a + b − ab.
Χηνγ mινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ mτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι
g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R
3
σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν


y τηυχ V : f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x τηυχ V

.
Χηνγ mινη ρ≈νγ V
r
, V
l
λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V
r
= dim V
l
= n − r.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm G ϖ∝ο νηm G
′
, ϖ∝ H λ∝ νηm χον χ〉α νηm
G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(H) λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm G
′
.
2. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηm τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηm νη♥ν R
⋆
χ÷χ σ
τηχ κη÷χ 0 ξ÷χ →⇒νη βι f (A) = det A. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ το∝ν χ⊇υ.
Ξ÷χ →⇒νη νηm χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηm χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο.
Χ♥υ ΙΙ.

ij
)
m×n
→↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A). Χηνγ mινη ρ≈νγ
r(A + B) ≤ r(A) + r(B).
2. Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})
m×n
.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη.
2. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηm f : G → G
′
. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν
τη⋅ Im(f ) χ∫νγ λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν.. Χηο mτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι
νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u
1
= (2, 3, 5) , u
2
= (3, 7, 8) , u
3
= (1, −6, 1)} .

Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a
−1
, ∀a ∈ G.
Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ mτ νηm Αβεν.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R
4
ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ
τρ⋅νη





2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 0
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x

)) = (x
1
− 2x
2
+ x
4
, x
1
+ x
3
− x
4
, 2x
2
+ x
3
− 2x
4
).
1. Τ⋅m dim Ker g, dim Im g.
2. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον
Im g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f
n−1
= 0,
f
n
= 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x ∈ V : f
k

1 b a + c
1 c a + b


.
1. Χηνγ τ〈 mα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη.
2. Τ⇑νη η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b, c.
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
→↑χ χηο βι
f(x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f.
2. Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν
R
3
σαο χηο mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ.
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
n
λ∝ mτ κη↔ν
γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√m χ〉α mτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ
τρ♠ν R.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ X λ∝ mτ ϖ∝νη. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π
nX =

a = nx = x + x + ... + x

+ ... + u
n
ϖι k = 1, 2, ..., n. Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ {v
1
, v
2
, ..., v
n
} λ∝
mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V .
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
3
→↑χ χηο βι
g((x
1
, x
2
, x
3
)) = (x
1
− 3x
2
− x
3
, −3x
1
+ x
2
+ x


y ∈ K
n
: f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x ∈ K
n

.
Χηνγ mινη ρ≈νγ V
r
, V
l
λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V
r
= dim V
l
= n − k.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : G → G χηο βι f (x) = x
2
ϖι mι x ∈ G.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ τ →∑νγ χ⊇υ χ〉α νηm G κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ νηm
αβεν.
2. Χηο mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ τ →…νγ χ⊇υ ϖ∝ mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ mτ τ⌡ →∑νγ
χ⊇υ νηνγ κη↔νγ πη∂ι λ∝ τ →…νγ χ⊇υ.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη h : R
4
→ R

− 6x
3
+ x
4
)
1. Ξ÷χ →⇒νη dim Im h, dim Ker h τηεο τηαm σ a.
2. ςι a = 3, ϖι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α b τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (1,−2, b) τηυχ Im h.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ
A =


1 2 2
2 1 2
2 2 1


.
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = Q
T
AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ mα
τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις.
1. Γι∂ σ F λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη
ρ≈νγ ν∏υ dim F < n τη⋅ τρονγ κη↔νγ γιαν V χ χ← σ {u
1
, u
2
, .., u
n

1
+ ax
2
− x
3
+ 2x
4
= 0,
2x
1
− x
2
+ ax
3
+ 5x
4
= 0,
x
1
+ 10x
2
− 6x
3
+ x
4
= 0.
2. ςι a = 3, τ⋅m χ← σ τρχ γιαο χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο N
⋆
χ〉α N τρονγ κη↔νγ γαιν
ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R

2
, .., x
n
) .
Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ δ≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ τη⋅ a
ii
> 0 ϖι mι i = 1, 2, .., n.
2. D≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ κηι ϖ∝ χη¬ κηι τ∑ν τ≠ι mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη S σαο χηο
(a
ij
)
n×n
= S
T
S.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ γιαο χ÷χ ιδεαν χ〉α mτ ϖ∝νη λ∝ mτ ιδεαν.
2. Γι∂ σ S λ∝ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ χ〉α ϖ∝νη K γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒. Χηνγ mινη ρ≈νγ
τ⊄π
(S) =

x =
n

i=1

+ ax
2
+ bx
3
,−x
1
+ (b − 1) x
3
)
1. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b τη⋅ f λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ.
2. Τ⋅m dim Im f, dim Ker f ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ
A =


1 2 2
2 1 2
2 2 1


.
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. D≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
3
χηο βι
ω (x) =

x
1
x

1
, u
2
, .., u
n
} λ∝ mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α E τη⋅ mι ϖ∠χ
τ← x τηυχ E →υ χ τη βιυ διν δ↑ι δ≠νγ
x =
n

i=1
(x.u
i
) u
i
.
2. Γι∂ σ L, M λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον χ〉α E ϖ∝ dim L < dim M. Χη↑νγ mινη ρ≈νγ
τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ← u ∈ M, u = 0 σαο χηο (u.y) = 0 ϖι mι y ∈ L.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 2
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ ϖ∝νη →α τηχ R[x] ∪ν x η√ σ τηχ. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι →α τηχ f (x) τηυχ R[x] τ⊄π
f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]}
λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη R[x].
2. ♣ι ϖι mι ιδεαν I = {0} χ〉α ϖ∝νη R [x] τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ →α τηχ δ≠νγ χηυ∪ν
p (x) σαο χηο I = p (x) R [x].
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
4

1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f, χ〉α f
n
, n > 0.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R
3
σαο χηο mα τρ⊄ν B χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα
τρ⊄ν ταm γι÷χ. ςι∏τ mα τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V τηο∂ m•ν →ιυ
κι√ν g(x, x) = ϖι mι x τηυχ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. g(x, y) = −g(y, x) ϖι mι x, y τηυχ V .
2. Ν∏υ g κη↔νγ συψ βι∏ν τη⋅ mι ϖ∠χ τ← u τηυχ V , v = {0}, λυ↔ν λυ↔ν τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ←
v τηυχ V σαο χηο g(u, v) = 1.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a
p
= e. Γι∂ σ G λ∝ mτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ. Χηνγ
mινη ρ≈νγ
1. Μι πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν.
2. ςι mι a, b τηυχ νηm (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N
0
χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ τηχ a
x
1

Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
3
ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι
f ((x
1
, x
2
, x
3
)) = (3x
1
+ 2x
2
, 2x
1
+ 4x
2
− 2x
3
, −2x
2
+ 5x
3
) .
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R
3
λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝
χηο βι∏τ mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ

→♥ψ:
(α) Τρ♠ν (0, 1).
(β) Τρ♠ν (−1, 0).
(χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1).
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ mτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝
mτ δ•ψ ηι τ.
2. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {x
n
} ϖι
x
n
= 1 +
1
2
+ ··· +
1
n
− ln(n) , n ≥ 1
λ∝ mτ δ•ψ ηι τ.
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α mιν ν≈m τρονγ m∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ
ηο∝νη ϖ∝ mτ νη⇒π χψχλοιδ

x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
(0 ≤ t < 2π, a > 0).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞


) + f (x +
2
n
) + ··· + f(x +
n
n
)

.
Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f
n
(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ.
♣≠ι ηχ Θυχ γι α Η ∝ Ν  ι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ
χηυ∪ν Χαυχηψ).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {x
n
} τρονγ →
x
n
= sin 1 + sin
1
1
2
+ ... + sin
1

1. Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν

D
(x
2
+ y
2
) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R
2
: x
4
+ y
4
 1}.
2. Χηο f(x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f
′
(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b). Χηνγ mινη
ρ≈νγ ν∏υ f
′
(x) = 0 ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f (x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b).
Χ♥υ ς.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν
+∞

0
sin
2
2x
x
dx.

= a
0
, a
2n
=
1
2
a
2n−1
, a
2n+1
=
1
2
(1 + a
2n
) , n  1
Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ {a
n
} χη¬ χ 2 γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝
1
3
ϖ∝
2
3
.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝m κη∂ ϖι.
2. Χηο f (x) = x
2

1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

0
sin
2
2x
x
dx.
2. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m
+∞

n=0
x
2
e
−nx
, 0  x < +∞.
Χ♥υ ς. Χηνγ mινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 τηο∂ m•ν β⊇τ →…νγ τηχ
π (a + b)  l  π