 1. Chứng minh rằng hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 3x không có cực trị.
 2. Chứng minh rằng hàm số y = x
2
+|x| có cực tiểu tại x = 1, mặc dù nó không có đạo hàm ngay
tại điểm đó.
 3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai
điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1).
 4. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
ĐS. m = 1.
 5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1− m
2
)x + m
3
− m
2

1
x
(m là tham số).
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
√
2
.
ĐS. m = 1.
 10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + m + 1
x + 1
(m là tham
số).
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
 11. (Dự bị 2005) Gọi (C

x − 1
.
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB
song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0.
ĐS. m <
3
2
.
 14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x
3
+ (1 − 2m)x
2
+ (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
ĐS. m < −1;
5
4
< m <
7
5
.
 15. Cho hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ m− 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác đều.
ĐS. m =
3
√

+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m
x + 2
, m là tham số. (1)
Tìm m để hàm số (5) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
ĐS. m = 0, m = −4 ±
√
24.
 20. (B, 2007) Cho hàm số
y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1 (m là tham số). (2)
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6).
b) Tìm m để hàm số (6) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (6) cách đều gốc
toạ độ.
ĐS. b) m = ±
1
2
.
 21. (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m +
m

− 6x + 6 = 2x − 1;
b) (Khối D, 2006)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0;
c) (x + 5)(2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x;
d) (Dự bị 2005)
√
3x − 3−
√
5 − x =
√
2x − 4;
e)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
;
f)

2x
2
+ mx = 3 − x có nghiệm duy nhất.
 25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
.
 26. (A, 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3
√
x − 1 + m
√
x + 1 = 2

3
(a)
√
x + 3 +
√
6 − x −

(x + 3)(6 − x) = m;
(b)
√
x + 1 +
√
3 − x −

(x + 1)(3 − x) = m;
(c) x
2
−
√
4 − x
2
+ m = 0;
 31. (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình

x − 3 − 2
√
x − 4 +

x − 6
√

√
3x
2
− 5x + 2.
 36. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4
x
− 2
x+1
+ 2(2
x
− 1) sin(2
x
+ y − 1) + 2 = 0.
 37. Giải bất phương trình
a)
√
x
2
− 2x − 15 < x − 2;
b)
√
−x
2
+ 6x − 5  8 − 2x;
c)
√
8x
2
− 6x + 1 − 4x + 1  0;
d)

2
+ 4x + 3  6 − 2x;
i) 2x
2
+
√
x
2
− 5x − 6 > 10x + 15;
j) (A, 2005)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4;
k)
√
2x + 7 −
√
5 − x 
√
3x − 2;
l)
2
x−1
+ 4x − 16
x − 2
> 4.
m) x

a) 3.16
x
+ 37.36
x
= 26.81
x
.
b) 3
2x
2
+6x−9
+ 4.15
x
2
+3x−5
= 3.5
2x
2
+6x−9
.
c) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
.
d) 5.2
3x−3
− 3.2

4 +
√
15

x
= (2
√
2)
x
.
g) 8.4
1/x
+ 8.4
−1/x
− 54.2
1/x
− 54.2
−1/x
= −101.
h) 5
3x
+ 9.5
x
+ 27(5
−3x
+ 5
−x
) = 64.
i) 1 + 3
x/2

− 3
= 0.
4
 41. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
3x+1
− 7.2
2x
+ 7.2
x
− 2 = 0.
 42. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log
3
(x − 1)
2
+ log
√
3
(2x − 1) = 2.
 43. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2 − log
3
x). log
9x
3 −
4
1 − log
3
x
= 1.
 44. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log
4

(x − 1)
3
= 0.
 47. (BKHN, 2000) log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
√
2
√
4 − x + log
8
(4 + x)
3
.
 48. (Dự bị, 2002)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x − 1)
8
= log

1
4
= 0.
 51. (Dự bị A, 2006) log
x
2 + 2 log
2x
4 = log
√
2x
8.
 52. (A, 2007) 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3)  2.
 53. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (log
x
8 + log
4
x
2
) log
2
√
2x  0.
 54. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log
1/2
√

(5
x−2
+ 1).
 57. (CĐTCKT 2006) 3

log
1/2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
 58. (Dự bị B, 2003) log
1
2
x + 2 log
1
4
(x − 1) + log
2
6  0.
 59. (Dự bị, 2006) log
x+1
(−2x) > 2.
 60. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)

log
2
0,5
x + 4 log

2x+1
− 3.2
x
).
 63. (D, 2006) 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
5
 64. (A, 2006) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
 65. (B, 2007) (
√
2 − 1)
x
+ (

x−1−
√
x
2
−5
+ 8 = 0.
 69. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 3
2x
2
+2x+1
− 28.3
x
2
+x
+ 9 = 0.
 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4
log
2
2x
− x
log
2
6
= 2.3
log
2
4x
2
.
 71. (Dự bị, 2004) log

11
(
√
2x − 3 − 1)

.

log
1
11
(x − 2)

.
 74. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log
1/3
(x − 1) + log
1/3
(2x + 2) + log
√
3
(4 − x) < 0.
 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log
4
(3
x
− 1). log
1
4
3
x

+ x
log
2
x
 4.
 79. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 3
2x+4
+ 45.6
x
− 9.2
2x+2
 0.
 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4
x
+ 2.25
x
 7.10
x
.
 81. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9
1+
√
1−t
2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0.

3
].
 85. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
9
1+
√
1−x
2
− (a + 2).3
1+
√
1−x
2
+ 2a + 1 = 0.
6
1 Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x + y + xy = 11,
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28;
b)

x + y = 4,
(x
2

+

y
x
=
5
2
,
x
2
+ y
2
+ xy = 21;
e)

3(
√
x +
√
y) = 4
√
xy,
xy = 9;
f) (A, 2006)

x + y −
√
xy = 3,
√
x + 1 +

b)

x + y + xy = m,
x
2
+ y
2
= m.
 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

x + y + xy = m + 2,
x
2
y + xy
2
= m + 1.
2 Hệ đối xứng loại hai
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

xy + x
2
= 1 + y,
xy + y
2
= 1 + x;
b)

x
3

3
y
2
;
f) (B, 2003)

3y =
y
2
+2
x
2
,
3x =
x
2
+2
y
2
.
 2. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 3
3
√
2 + 3x = 2;
b) x
3
− 6 =

√
x + 1 +
√
y − 2 =
√
m,
√
y + 1 +
√
y − 2 =
√
m.
(4)
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
 6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình



x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1,
y +

y
2

+ x.
 8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình





e
x
= 2007 −
y

y
2
− 1
,
e
y
= 2007 −
x
√
x
2
− 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x(x + 2)(2x + y) = 9,

x
+
1
y
= 5,
x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
= 9;
e)

x + y + x
2
+ y
2
= 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)

1 + x
3

2
− xy + 3y
2
= 11;
c)

(x − y)
2
y = 2,
x
3
− y
3
= 19;
d)

x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
4x
2
+ 2xy + 6x− 27 = 0;
 86. Giải các hệ phương trình sau:
8
a) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:




c) (Dự bị khối D, 2005)

x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
d) (Khối A, 2006)

x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
(x, y ∈ R)
e) (Dự bị Khối A, 2006)

x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x− 2) = y
(x, y ∈ R)
f) (Dự bị Khối A, 2006)

x

2
(x, y ∈ R)
i) (Dự bị Khối D, 2006)

ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y,
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0.
j) (Dự bị Khối B, 2006)

(x − y)(x
2
+ y
2
) = 13,
(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
(x, y ∈ R).
k) (Dự bị, 2005)

x
2
+ y = y
2
+ x,

x) sin x = 1 + sin 2x.
3) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
4) (D, 2007)

sin
x
2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
9
5) (B, 2007) 2 sin
2
x + sin 7x − 1 = sin x.
6) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
1
2 sin x
−
1
sin 2x
= 2 cot 2x.
7) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos
2
x + 2
√

sin x
= tan x − cot x.
10) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
√
2 sin

x −
π
12

cos x = 1.
11) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
12) (Dự bị B, 2006) (2 sin
2
x − 1) tan
2
2x + 3(cos
2
x − 1) = 0.
13) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
14) (Dự bị D, 2006) cos
3
x + sin
3
x + 2 sin
2
x = 1.
15) (Dự bị D, 2006) 4 sin
3
x + 4 sin

19) cos
2

x +
π
3

+ cos
2

x +
2π
3

=
1
2
(sin x + 1).
20) sin

3x +
π
4

= sin 2x. sin

x +
π
4


25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
26) (D, 2005) cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.
27) (Dự bị 2005) 2
√
2 cos
3

x −
π
4


32) (Dự bị 2004)
1
cos x
−
1
sin x
= 2
√
2 cos

x +
π
4

.
10