Bài Tập 1.1
1. Cho hai trạng thái
1 2
9i 2ψ = φ + φ
và
1 2
i 1
2 2
χ = − φ + φ
, với
1
φ
và
2
φ
là
hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ
a) Tính các toán tử
ψ χ
và
χ ψ
. Chúng có bằng nhau không?
b) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của
ψ
,
χ
,
ψ χ
và
χ ψ
.

b) Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các toán tử
X d/d
e ,e
x
∧
and
id/d
e
x
.
c) Tìm liên hợp Hermit của toán tử
Xd / dx
∧
.
d) Dùng kết quả câu a) khảo sát tính Hermit của các thành phần của toán tử momen động
lượng :
L i Y / z Z / y
x
∧ ∧ ∧
 
= − ∂ ∂ − ∂ ∂
 ÷
 
h

y
,L i Z / X / zx
∧ ∧ ∧
 
= − ∂ ∂ − ∂ ∂

ψ =
và chuẩn hóa nó.
c) Tính xác suất tìm thấy hạt (diễn tả bởi
( )
xψ
trong miền:
1 1x
− ≤ ≤
.
Bài tập 1.5
Tìm điều kiện để toán tử cho ở câu a) và b) là Unita
a)
1 i A / 1 i A ,
∧ ∧
   
+ −
 ÷  ÷
   
b)
2 2
A i B / A B
∧ ∧ ∧ ∧
 
+ +
 ÷
 
Bài tập 2.1
Khảo sát hạt bị nhốt trong thế một chiều giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ a và có hàm sóng cho bởi
( )
, sin( / )exp( ).x t a i t

( , )x t
ψ
ở những thời điểm t sau.
(d) Xác định xác suất tìm thấy hệ ở thời điểm t trong trạng thái
5
( , ) 2 / sin(5 / )exp( / )x t a x a iE t
ϕ π
= − h
; và xác suất tìm thấy hạt trong trạng thái
2
( , ) 2 / sin(2 / )exp( / )x t a x a iE
χ π
= − h
.
Bài tập 2.3
Hạt có khối lượng m, chuyển động tự do bên trong giếng thế có bề rộng a, có hàm sóng
ban đầu ở thời điểm t = 0 là
( ) ( )
( )
( )
,0 3 / 5 sin 3 / 1/ 5 sin 5 / .x a x a a x a
ψ π π
= +
(a) Tìm hàm sóng ở thời diểm t là
( , )x t
ψ
(b) Tính mật độ xác suất
( )
,x t
ρ

.
(a) Nếu năng lượng được đo, sẽ thu được năng lượng nào và xác suất bằng bao nhiêu?
(b) Cho toán tử
ˆ
A
mà khi tác động lên
n
φ
được định nghĩa bởi
0 1
ˆ
n n
A na
φ φ
+
=
.
Nếu A được đo thì sẽ có giá trị nào và xác suất bằng bao nhiêu?
(c) Giả sử phép đo có năng lượng
0
4
ε
. Nếu chúng ta đo A ngay sau tức thời thì thu
được giá trị nào?
Bài tập 2.5
(a) Giả sử hệ trong bài tập 2.4 ở trong trạng thái
3
φ
, giá trị nào của năng lượng và giá
trị A nào ta thu được nếu chúng ta đo (i) H trước kế đến A (ii) A trước kế đến H

= −
 ÷
 ÷
−
 
0
1
1
1
5
1
i
i
ψ
−
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
 
Ở đây ε có thứ nguyên năng lượng.
(a) Chúng ta sẽ thu được giá trị năng lượng nào? Ứng với xác suất bao nhiêu
(b) Tính
ˆ
H
Bài tập 3.1
Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động tự do giữa x = 0 and x = a trong thế vuông 1
chiều vô hạn
a) Tính các giá trị trung bình

> 0 (V
0
có
thứ nguyên của năng lượng còn x có thứ nguyên khoảng cách).
(a) Trong trường hợp năng lượng âm, chỉ ra rằng hạt chỉ có trạng thái liên kết, tìm năng
lượng liên kết và hàm sóng.
b) Xác suất mà hạt vẫn còn trog trạng thái buộc khi V
0
là (i) giãm một nửa (ii) tăng 4 lần?
(c) Khảo sát trường hợp tán xạ (i.e, E > 0) và tính hệ số phản xạ và hế số truyền theo số
sóng k.
Bài tập 3.4
Khảo sát hạt có khối lượng m chuyển động trong thế
( )
0
0
0
0
x
V x V x a
x a
∞ ≤


= − < <


>

ở đây V

hai vectơ trực giao chuẩn hóa và đầy đủ
e) Tính các toán tử
ψ χ
và
χ ψ
. Chúng có bằng nhau không?
f) Tìm liên hợp phức và liên hợp Hermit của
ψ
,
χ
,
ψ χ
và
χ ψ
.
g) Tính Tr(
ψ χ
) và Tr(
χ ψ
). Chúng có bằng nhau không ?
h) Tính
ψ ψ
và
χ χ
và vết Tr(
ψ ψ
), Tr(
χ χ
). Chúng có là toán tử hình chiếu
không?

= − φ φ + φ φ + φ φ + φ φ

( )
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 2i 9i 2
2
χ ψ = − φ φ − φ φ − φ φ + φ φ
Ta thấy
ψ χ
và
χ ψ
là không bằng nhau; chúng chỉ bằng nhau khi
ψ
và
χ
là
tỉ lệ với nhau qua hằng số thực
Tìm Liên hợp phức của
ψ

ψ χ
ta chỉ biến đổi liên hợp phức của hệ số phức, ket
vẫn giữ là ket và bra vẫn giữ là bra
1 2
' 9i 2ψ = − φ + φ
,
1 2
1
(i )

1 2
1
i
2
χ = χ = φ + φ

( ) ( )
†
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 2i 9i 2
2
ψ χ = χ ψ = − φ φ − φ φ − φ φ + φ φ

( ) ( )
†
1 1 1 2 2 1 2 2
1
9 9i 2i 2
2
χ ψ = ψ χ = − φ φ + φ φ + φ φ + φ φ
b) Sử dụng tính chất Tr(AB) = Tr(BA) và bởi vì
1 1 2 2
| | 1φ φ = φ φ =
và
1 2 2 1
| | 0φ φ = φ φ =
, chúng ta có
( ) ( )
Tr Tr | |ψ χ = χ ψ = χ ψ


( ) ( )
1 2 1 2
9i 2 9i 2ψ ψ = φ + φ − φ + φ

1 1 1 2 2 1 2 2
81 18i 18i 4= φ φ + φ φ − φ φ + φ φ