CHUYÊN ĐỀ 1
TỌA ĐỘ PHẲNG
Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ
một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng
phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng.
Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:
Cho
a
=
(
, = ta có:
G
b
G
)
G
G
G
G
)
1 2
a, a
(
1 2
b, b

a
=
G
b

G
1
a
2
a
∈
R)

α
+ = ( +
a
G
β
b
G
α
1
a
β
1
b ,
α
2
a +
β
2
b )

a
. = +

BB
A x, y
Bx, y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
AB
JJJG
= ( – , – )
B
x
A
x
B
y
A
y
và AB =
()()
22
BA BA
x - x y - y+

. Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:

a
+ = 0

1
1
a
b
=
2
2
a
b
( ,
1
b
2
b
≠
0)
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
JJJG
cùng phương
AC
JJJG

⇔
BABA
CACA
x - x y - y
x - x y - y
= 0
. Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:

sin( a, b) =
12 1
G
G
2
a b - a b
a.bG
G
tg( a , b) =
12 1
11 2
2
2
a b - a b
ab + a b

Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây:
. M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB
M
x
M
y
⇔
2
2
AB
M

⎩
AB
G
AB
G
x + x + x
x =
y + y + y
y =
C
C

. I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong
ABC thì:
I
x
I
y
J
x
J
y
Δ

IB
IC
JJG
JJG
=
−

CACA
x - x y - y
x - x y - y

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).
a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B.
b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3
AM
JJJJG
BM
JJJJG
- 4
CM
JJJJG
=
0
G

c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên
Ox.
d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC.
Δ
e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng.
Giải
a) D là điểm đối xứng của A qua B
B là trung điểm của AD ⇔
⇔
AD

−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2 + 3
BM
– 4
CM
AM
JJJJG
=
0
G
= ( 0, 0 )
⇔
()()( )
()()()
−−−−⎧
⎪
⎨
−− −
⎪
⎩
MMM
MMM
2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0
2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0

⇔ hay M(–12, –1)
−
⎧
⎨

⎩

⇔ hay E(5, 0)
E
E
y = 0
x = 5
⎧
⎨
⎩
d) H là trực tâm của ABC
Δ
⇔
AH BC
BH AC
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩
⇔
AH.BC = 0
BH.AC = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG

0
⇔
18
7
9
7
H
H
x
y
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay H
18
7
9
,
7
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

G là trọng tâm ABC ta có:

=
hay G
4
2
3
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp
Δ
ABC
⇔ IA = IB = IC ⇔
22
22
IA IB
IA IC
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
⇔
()( )()(
()( )()(
222
222

−+ −=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
24 12
14 7
19
14
I
I
x
y
⎧
==
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay I
12 19
714
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

=
1
21
1
14
=
2
3

⇒ cùng phương với
HG
JJJJG
HI
JJJG

⇒ H, I, G thẳng hàng.
Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
cos (
AO
JJJG
,
AB
JJJG
) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC.
Giaỷi
Ta coự:
AO
JJJG

)

12 21
1
2
=
ABC
Sabab
=
1
1333
2
()( ) ()
= 2 3
* * *