Đề luyện tập số 1.
Câu 1. Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
2 2
12 3z x y xy x y= + + − −
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∑
∞
=
1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n



n
x
n
−
∞
=
−
−
∑
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
,
Câu 6. Tính tích phân
( )
( )
2
2
cos
x

.
Đề luyện tập số 2.
Câu 1. Cho hàm
2
( , )
xy
f x y xe=
. Tính
2
(2,1)d f
.
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2
2 2 1
( , ) ( )
x y
f x y y x e
− +
= −
trên miền
2 2
{( , ) | 4}D x y x y= + ≤
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=

1
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x
n n
∞
=
− −
∑
+
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
,
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫

f x y x y
y
= +
. Tính
2
(1,1)d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3
+
y
9
với x > 0, y > 0
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n

, chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
Câu 8. Tính
2=
∫∫
S
I xdS
, với S là phần mặt trụ
2 2
4+ =x y
nằm giữa hai mặt phẳng
1, 4z z= =
.
Đề luyện tập số 4.
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy với D là miền 1
≤
x
2
+y
2
≤
e
2
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích
phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
trong đó L là đường cong có phương trình: 4x
2
+9y
2
=36,
chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt


= +


x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + =
136
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3
3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−

3
Câu 6. Chứng tỏ tích phân
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy
−
= + + + − −
∫
không phụ thuộc đường đi.
Tính tích phân I với C là phần ellipse
2 2
1
9 4
x y
+ =
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi
2
2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = =
, lấy phần
0.z
≥
Câu 8. Tính
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S

1
1 4 9
(4 3)!!
n
n
n
∞
=
× ×
∑
−
L
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
3
2
1
−
+
−
∑

I x y dl
, với C là nửa trên đường tròn
2 2
2+ =x y y
.
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
, với C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
Đề luyện tập số 7.
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz(
)1,2
và
2
2
x
z
∂
∂

n
n
n
xn
137
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
=
1(x, y
≥
0), x
2
+y
2
=33 (x, y
0
≥
), y=x, y = x
3
.
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye

= 2x lấy theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
2
=
∫∫
S
I x dS
, với S là nửa trên mặt
2 2 2
4+ + =x y z
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C
I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
Đề luyện tập số 8.
Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình

2
5.
!)12...(5.3.1
...9.4.1
+
∞
=
∑
−
n
n
nn
n
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 4 2
3
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n
n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑

+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
trong đó L là nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9 nằm bên phải trục tung,
chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
Câu 7. Tính
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi
2 2 2
2+ + ≤x y z z
và
2 2
1+ + =z x y
.
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2

- 2x+ 2y +4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
với
)14(
14
14
+






+
−
=
nn
n
n
n
u
,

dxdy
với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các
đường thẳng y = x, y = 0.
Câu 6. Tìm hàm h(x
2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=
][
dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(
222222
+−+−
∫
với AB là cung không cắt đường x
2
= y
2
.
Câu 7. Tính

f

2 2
, if ( , ) (0,0)
( , )
0, if ( , ) (0,0)

≠

=
+


=

xy
x y
f x y
x y
x y
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2 1
n
n

2 2
4, 0x y x+ ≤ ≥
Câu 6. Tính tích phân
(2,3)
2
2 2 2 2
(1,1)
1x y y
I dx dy
x x
x y x y
   
= − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
   
∫
, theo đường cong C
không qua gốc O và không cắt trục tung.
Câu 7.
2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
=
∫∫∫
+ +
, với V được giới hạn bởi