TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
F 7 G

GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
ĐỖ NGUYÊN SƠN

2000
Đại Số Đại Cương
- 2 -
MỤC LỤC
mục lục ..........................................................................................................................2
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ................................................7
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ..................................................................................7
1.1 Tập hợp............................................................................................................7
1.2 Ánh xạ..............................................................................................................8
A, B ⊂ X
⇒

1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được....................................................................9
1.4 Quan hệ hai ngôi. ...........................................................................................9
1.5 Quan hệ tương đương. ...................................................................................10
1.6 Mệnh đề.........................................................................................................11
1.7 Quan hệ thứ tự...............................................................................................12
2. Cấu trúc đại số.....................................................................................................13
2.1 Phép tóan đại số.............................................................................................13
2.2 Các tính chất của phép toán đại số...............................................................14
2.3 Các phần tử đặc biệt......................................................................................15
2.4 Cấu trúc đại số...............................................................................................15
2.5 Các cấu trúc đại số cơ bản.............................................................................16
BÀI TẬP......................................................................................................................18
CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9..............................................................................21
1. Số tự nhiên...........................................................................................................21
1.1 Xây dựng số tự nhiên .....................................................................................21
1.2 Phép cộng trên ∠...........................................................................................21
1.3 Đònh lí.............................................................................................................22
1.4 Phép nhân trên ∠...........................................................................................23
1.5 Đònh lí..............................................................................................................23
1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.......................................................23
1.7 Đònh lí: ............................................................................................................23
2. Vành số nguyên...................................................................................................24
2.1 Xây dựng tập số nguyên ................................................................................24
2.2 Phép cộng ......................................................................................................25
2.3 Phép nhân .....................................................................................................25
2.4 Đònh lí.............................................................................................................26
2.5 Quan hệ thứ tự trên 9....................................................................................27
3. Sự chia hết trên tập số nguyên...........................................................................27
3.1 Đònh nghóa.......................................................................................................27
3.2 Tính chất ( a, b, c, d là các số nguyên)........................................................27

6.11 Cách tìm ƯCLN và BCNN........................................................................36
7 Đồng dư.................................................................................................................37
7.1 Đònh nghóa......................................................................................................37
7.2 Lớp đồng dư..................................................................................................37
7.3 Tính chất ........................................................................................................38
BÀI TẬP......................................................................................................................39
CHƯƠNG 3: NHÓM...................................................................................................42
1 Nửa nhóm - Vò nhóm ............................................................................................42
1.1 Đònh nghóa.......................................................................................................42
1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm ..............................................................42
1.3 Đònh lí..............................................................................................................42
1.4 Đònh lí..............................................................................................................43
2 Nhóm.....................................................................................................................44
2.1 Đònh nghóa.......................................................................................................44
2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm.....................................................................45
3. Nhóm con ............................................................................................................47
3.1 Đònh nghóa......................................................................................................47
3.2 Đònh lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con)..........................................47
3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhóm...................................................48
4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương..................................................................49
4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác đònh bởi một nhóm con .......................49
4.2 Mệnh đề.........................................................................................................50
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 4 -
4.3 Đònh lí (Lagrange) .........................................................................................51
4.4 Nhóm con chuẩn tắc......................................................................................51
4.5 Nhóm thương .................................................................................................52
5. Đồng cấu nhóm....................................................................................................54
5.1 Đònh nghóa.......................................................................................................54

2.2 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một vành con).................................................73
2.3 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một trường con)............................................73
3. Ideal - Vành thương .............................................................................................74
3.1 Đònh nghóa.......................................................................................................74
3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75
3. 3 Vành thương..................................................................................................75
4. Đồng cấu vành.....................................................................................................76
4.1 Đònh nghóa.......................................................................................................76
4.2 Các tính chất của đồng cấu vành...................................................................77
4.3 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu vành).............................................................78
4.4 Hệ quả............................................................................................................78
4.5 Đặc số của vành .............................................................................................78
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 5 -
5. Các đònh lí nhúng đẳng cấu.................................................................................78
5.1 Đònh lí (nhúng đẳng cấu một vò nhóm)..........................................................78
5.2 Đònh lí ( nhúng đẳng cấu một vành nguyên).................................................80
6. Số học trên vành nguyên - Vành chính - Vành Euclide - Vành Gauss ............82
6.1 Các đònh nghóa................................................................................................82
6.2 Các tính chất.................................................................................................83
6.3 Vành chính.....................................................................................................84
6.4 Đònh líù .............................................................................................................84
6.5 Đònh lí..............................................................................................................85
6.6 Vành Euclide ................................................................................................86
6.7 Đònh lí..............................................................................................................86
6.8 Thuật tóan tìm ƯCLN....................................................................................86
6.9 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa)...................................................................87
6.10 Đònh lí............................................................................................................88
6.11 Đònh lí............................................................................................................89

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 6 -
1.1 Lát cắt hữu tỉ................................................................................................112
1.2 Các quan hệ trên 3

.......................................................................................112
1.3 Phép cộng .....................................................................................................113
1.4 Phép nhân .....................................................................................................113
2. Trường số phức ..................................................................................................113
2.1 Xây dựng số phức.........................................................................................113
2.2 Đònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................115
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 7 -
CHƯƠNG 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ.
1.1 Tập hợp.

• Tập hợp là một khái niệm ban đầu. Tập hợp được mô tả như một tòan thể nào
đó bao gồm những đối tượng nào đó có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất
đònh. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Ta thường kí hiệu các tập hợp
bằng các chữ cái A, B, X, Y.... còn các phần tử của chúng bằng các chữ cái nhỏ a,
b, x, y… Có hai cách để xác đònh một tập hợp, một là liệt kê ra tất cả các phần tử
của nó, A = {a
1
,a
2
,…a

3}.

• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp B thì ta nói A nằm
trong B, hay B chứa A, hay A là tập con của B , và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B
A.
⊃

trong các tập hợp A
và được kí hiệu là B = A
VÍ DỤ:
∪
[0, 1 –

• Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp đã cho. Hợp của hai tập hợp được kí hiệu là A
∪
B. Hợp của
họ các tập hợp {A
} là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một
α
α
∪
α

α
∞
•
=
1n
n

n
] = {0}
1
B A A

• Hợp và giao các tập hợp có các tính chất

1) A
= B
∪ ∩
B = B
∩
A (Giao hóa
∪
n)
2) A
(B C) = (A B) C A
∪
∪ ∪
∪ ∩
(B
∩
C) = (A
∩
B)
∩
C (Kết hợp)
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 8 -

xứng của hai tập hợp được kí hiệu là A
∆
B. Rõ ràng rằng A
∆
B = B
∆
A.

• Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm
mọi cặp (x,y) ở đây x
∈
A và y
∈
B, và được kí hiệu là A
×
B.
Tích D sca tes của ï các tập hợp {A
} là một tập hợp gồm các họ
e r ho

α
I.∈α

(a
α
)
I.∈α
,

với a

∩
A ) = CA ).
α
α
∪
(
α
1.2 Ánh xạ• Cho hai tập hợp X và Y. Một ánh xạ từ X vào Y là một qui luật f nào đó cho
tương ứng một phần tử x
∈
X với duy nhất một phần tử y
∈
Y . X được gọi là tập
nguồn hay miền xác đònh còn Y là tập đích hay miền giá trò. Phần tử y được gọi là
ïo
ø Y. Tập hợp f
: x
ủa tập hợp U qua ánh xạ f
–
X (
ảnh của x, còn x được gọi là ta ảnh của y qua ánh xạ f, khi đó ta viết y = f(x). Để
chỉ một ánh xa từ X vào Y thường dùng kí hiệu

f : X
→
Y, x
a


⊂ X

chế của ánh xạ f trên U
đồng nhất trên X.
→

• Ta có các tính chất sau
⇒

⎩
⎨
⎧
∩⊂∩
∪=∪
)B(f)A(f)BA(f
)B(f)A(f)BA(f

A, B
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 9 -
U, V ⊂ Y
⇒

fUV fU fV
fUV fU f
−−−
−−−
∪= ∪

2
3π
= [ ].
1 2

• Hai ánh xạ f
1
: X
1
→
Y
1
và f
2
: X
2

→
Y
2
được gọi là bằng nhau nếu X
1
= X
2
và
f
1
(x) = f
2
(x) với mọi x

thuộc X sao cho y = f(x). Điều này cho phép xác đònh một ánh xạ f
–1
từ Y vào
với f
–1
(y) := x nếu f(x) = y. Ánh xạ f
–1
được
X
gọi là ánh xạ ngược của ánh
xạ f
o f
–1
= id
Y
. Ta cũng có thể dễ kiểm
. Hiển nhiên rằng f
–1
o f = id
X
và f
tra rằng, nếu f : X
→
Y, g : Y
→
Z là các song ánh thì f
–1
: Y
→
X, (g o f) : X

o
} (với k
o
là một số tự nhiên nào
đó). Tập hợp không hữu hạn gọi là vô hạn.

• VÍ DỤ:Tập hợp các số nguyên có cùng lực lượng với tập số tự nhiên vì ta có song
ánh f : 9
→
∠, được xác đònh bởi f(n) = 2n +1 nếu n 0, và f(n) = 2
≥
n
nếu n <
0.
1.4 Quan hệ hai ngôi.
• Quan hệ (hai ngôi) trên tập l ø moX a ät tập con R của X
×
X. Nếu cặp phần tử (x,
à viết x R y.
co a
y)
∈
R thì ta nói x có quan hệ R vơi y, v

M hệ R trên tập X được gọi là ù tính ch át• ột quan

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 10 -
1) phản xạ nếu x R x, x

o ] oặc
• Quan hệ R trên tập X được gọi là quan
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Người ta thường kí hiệu quan hệ tương đương R
èng dấu '' ~ '' và đọc '' a ~ b'' là a tương đương với b. •
{
y
∈
X : x
}
của X được gọi là một lớp tương đương của x (modulo R)
và được kí hiệu là [x]
, h ặc [x , h
R
x
hoặc
∧
x
. Mỗi phần tử của [x] được gọi
là một đại diện của [x
,
R
]
R
.

• Tập hợp
R

≡
y(mod n)
và đọc là '' x là đồng dư với y modulo n '', được xác đònh bởi:

y(
. t g ơng của x được gọi là lớp đồng dư
k i là
x
≡
mod n) ⇔ x – y chia hết cho n là một quan hệ tương đương Lớp ươn đư

x
= {x + kn, k
∈

modulo n của x , và thường được í h ệu
9 }.
a lớp (hay phân hoạch)
của
1) X

} cacù tập con của X gọi là một ph ân
• Một họ P = {X
I∈α
α
X nếu
α


∅

⇒
X
α
= X
β
.
1 Mệnh đe.6 à
một quan hệ tương đương trong X thì tập thươngR
X
a) Nếu R là là một
phân lớp của X.
b) Nếu P = {X
} là một phân lớp của X thì R(P) = {(x
α
I∈α
,y)
∈
X
×
X : tồn
tại X
α
∈
P để x, y

xác đònh bởi : x R(P) y X
α

∈
P, x, y
∈
X
α
.

• Tính phản xạ và tính đối xứ g c ûa R(P) ø rõ r øng. Giả sử x, y, z
∈
X sao cho x
R(P) y và y R(P) z. Khi đó tồn tại X
và X sao cho x, y
n u la a
∈
X và y, z
∈
X
β
α
β
α
.
Như vậy, X
α
∩
X
β

a [x
⊂ X thì do x cũng
β
X
β
và X
α
có chung phần tử x nên trùng nhau; tức là y cũng là phần tử của
α
. Ngược lại, nếu lấy bất kì y thuộc X
α
điều này suy r ]
)P(R
α
thuộc X
nên x R(P) y, tức là y
∈
[x] . Từ đó, X [x]
)P(R
α
⊂
)P(R
.
α
• Nhận xét trên suy ra phần còn lại của mệnh đề. 

• NH
a) thì với mọi x, y thuộc X ta có
ẬN XÉT :
Nếu R là một quan hệ tương đương trong X,

đo với R nếu luôn luôn có R b hoặc b R a. Một quan hệ thứ tự R trên X gọi là
quan hệ thứ tự tòan phần nếu mọi cặp phần tử khác nhau của X đều so
được, còn trái lại thì được gọi là quan hệ

VÍ DỤ: •
a) Quan hệ bé hơn
≤
thông thường trong 3 là một quan hệ thứ tự không chặt,
tòan phần.

b) Quan hệ chia
một quan hệ thứ tự không chặt, bộ phận.

c) Quan hệ bao hàm ⊂ trong tập các tập con của X là một quan hệ thứ tự bộ phận.

• Nếu R là một quan hệ thứ tự trong X thì ta thường kí hiệu R bằng dấu
≤
và đọc
'' a
≤
b '' là '' a bé hơn b''. Ta xem kí hiệu b
≥
a là đồng nghóa với a
≤
b và đọc là
'' b lớn hơn a ''.
• Tập hợp X được gọi là được sắp thứ tự ( hay được sắp) (chặt, không chặt, bộ
p

≤

N
tử bé nhất (tương ứng: lớn nhất ) duy nhất. Thật vậy, giả sử còn có b là phần tử bé
nhất thì ta suy ra a
≤
b và b
≤
a, từ đó, do tính phản xạ, a = b.

b) Một bộ phận A của tập được sắp (X,
≤
) có thể có hoặc không có phần tử
ớn nhất hoặc bé nh
≤
ất. Chẳng hạn trong (3

, ), tập ∠
0
có phần tử bé nhất là 0,
g c
l
nhưng khôn ó phần tử lớn nhất.

c) Một bộ phận A của tập được sắp (X,
≤
) có thể không có phần tử cực đại,
cực tiểu hoặc có một, hoặc có nhiều. Chẳng hạn: Trong (3

,
≤
) bộ phận ∠ không

2.1 Phép tóan đại số

• Cho X và Y là hai tập khác ∅. Phép tóan trong ( hay luật hợp thành trong)
trên X là một ánh xạ F : X x X
→
X. Phép tóan ngòai(hay luật hợp thành
ngòai) trên X với tập tóan tử Y là ánh xạ G : Y x X
→
X. Phần tử F(x,y),
G(x,y) được gọi là cái hợp thành của x và y.

Người ta thường viết cái hợp thành của x và y bằng cách viết x và y theo một thứ
nh với một dấu đặc trưng cho phép toán đặt giữa x và y. Chẳng hạn,
kí hiệu
viết xy) lúc này được gọi là tích của x và y.
,y)
xy; (x,y) x + y ( phép nhân và cộng thông
ường) là các phép toán trong. Ánh xạ (x,y)
x
*
y = 2x + 6xy + 5y cũng là phép
9, vì
g thuộc 9.
ác
hép toán ngòai trên 3

với tập toán tử ∠.
•
tự nhất đò
F(x,y) = x + y, F(x,y) = x.y, F(x,y) = x

X}, các ánh xạ từ X vào X, ánh xạ (f, g)
a
f o g
là phép toán trong

d) Đối với mỗi số thực x và số tự nhiên n, các ánh xạ (n, x)
a
nx, (n,x)
a
x
n
là c
p

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 14 -
• M
2
, …, x
n
} thường được cho bằng
ách trình bày dưới dạng một bảng. Trong bảng , người ta viết các phần tử của X ở
ên.
rong phần giao của hàng thứ i và cột thứ j, người ta viết cái hợp thành x
i

*
x
j

*

• Tính kết hợp : (a
*
b)
*
c = a
*
(b c) với mọi a, b, c
∈
X

Tính giao hoán• : a
*
b = b
*
a với mọi a, b
∈
X
) phân phối trái đối với ⊥ nếu a
*
(b ⊥ c) = a
*
b ⊥ a
*
c,

• Tính phân phối : Giả sử ⊥ là một phép toán khác trên X. Khi đó phép
toán
*

*
c kéo theo b = c
i mọi a, b, cb) luật giản ước phải nếu vớ
∈
X, từ b
*
a = c
*
a kéo theo b = c
) luật giản ước nếu nó thỏa luật giản ước trái lẫn luật giản ước phải.
ết hợp, giao hoán, phép nhân phân phối đối với phép cộng; phép toán mũ hóa (m,
ùn hợp g o f có tính kết hợp,
o )
c

• VÍ DỤ:
1) Trong tập các số tự nhiên ∠, phép cộng và phép nhân thông thường có tiùnh
k
n)
a
m
n
không giao hoán ( 2
1
≠ 1
2
), không kết hợp ( (2
1
)
2

) Phần tử đơn vò đối với phép cộng thường được kí hiệu bằng 0, và phần tử
ơn vò của phép toán cộng thông thường là số 0, phần tử
ơn vò của phép toán nhân thông thường là số 1.
ùp a t
ùn xạ đồng nhất id
X
.
Cho tập hợp X và trên đó có một phép toán
*
.

• Phần tử e
∈
X được gọi là

– phần tử đơn vò trái đối với phép toán
*
nếu e
*
a = a, với mọi a
∈
X.
– phần tử đơn vò phải đối với phép toán
*
nếu a
*
e = a, với mọi a
∈
X.
– phần tử đơn vò đ


ò phải, đẳng thức thứ hai do e' là đơn vò trái).
Từ điều trên suy ra g
một phần tử đơn vò.
n ay lập tức rằng, đối với một phép toán trong có nhiều
3
nghòch đảo của x được kí hiệu là – x.
Phần tử đơn vò đối với phép nhân thường được kí hiệu bằng 1, và phần tử nghòch
đảo của x được kí hiệu là x
–1
.

• VÍ DỤ:
1) Trong tập P(X) các tập con của X, phần tử đơn vò của phép toán ∪ là e = ∅,
phần tử đơn vò của phép toán
∩
là e = X.

2) Trong 9, phần tử đ
đ

3) Đối với phe toán hợp trên tập các ùnh xạ ừ X vào X, phần tử đơn vò là
ha
2.4 Cấu trúc đại số

• M
2
, ⊥
2
, ..., Y

≤
m ) được gọi là một cấu trúc đại số.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 16 -

• Giả sử (X, T
1
, T
2
, ...,T
n
; Y
1
, ⊥
1
, Y
2
, ⊥
2
, ..., Y
m
, ⊥
m
)
cấu trúc đại số có
các tập toán tử. Khi đó ánh xạ f : X
X' được gọi là một đồng cấu giữa hai cấu
úc đại số này nếu :
'

) f(
j
b) = ⊥'
j
f(b), với mọi
b
α
⊥
α α

∈
Y
j
, b
∈
X, với mọi j = 1, 2, …, m.
gọi là đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu nếu ánh xạ f tương ứng là
ơn ánh, toàn ánh, song ánh.
ản

• Đồng cấu f được
đ
2.5 Các cấu trúc đại số cơ b
* *
*
*
có tính kết hợp, có phần tử đơn vò, và mọi phần tử của X
ò nhóm (X, • ) cũng được gọi là phần tử đơn vò
thì vành (X, +. • ) được gọi là vành
o .


Phần tử đơn vò ( kí hiệu là 1) của v
của vành. Nếu phép toán • có tính giao hoán
ia hoáng

Cho (X, +, •
b
∈
X sao cho a ≠ 0, b ≠ 0 ( 0 là phần tử đơn vò của nhóm (X,+)) nhưng xy = 0.
Những phần tử như thế được gọi là ước của không. Một vành giao
ước của không và 1 ≠ 0 được gọi là vành nguyên hoặc

• Vành (X, +, • ) được gọi là một trường nếu nó là giao hoán, phần tử đơn vò 1
khác 0, và mọi ph

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 17 -
• Cho (A, +, • ) là một vành với pha 1. Cấu trúc đại số (M, +, • ), trong
ó + là phép toán trong trên M và • là phép toán ngòai trên M với tập toán tử A,
trên vành A nếu :
a các điều kiện sau
i)
(x + y) = x + y với mọi
àn tử đơn vò là
đ
được gọi là một modul

a) (M, +) là một nhóm giao hoán.
b) Phép toán ngòai • thỏ

∈
M.
với mọi x iii) 1x = x
∈
X.
Một modul trên một trường được gọi là là một không gian vector hay không
.

•
gian tuyến tính

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 18 -
BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng :

1) A ⊂ B
⇒
A
∩
B = A và A ∪ B = B
2) A
∩
B = A
⇒
A ⊂ B
3) A ∪ B = B
A ⊂ B

k
).
äp hợp bất kì A, B, C thì
C) = (A ×B ) (A ×C)
A
n 1 2 n
nhất một tập hợp A
i
không chứa một tập hợp nào trong các
f : ∠
∠, f(n) :=
− nn
0

nn
Cho ví dụ chứng tỏ nói chung dấu ' = ' không xảy ra.

. Chứng minh rằng với các ta4

1) A × (B ∪ C) = (A ×B) ∪ (A ×C)
2) (A ∪ B)×C = (A ×C) ∪ (B ×C)
) A ×(B3
∩ ∩
4) (
∩
B) ×C = (A ×C)
∩
(B ×C)

5. Xét tập hợp {A

òan ù ø tòan ánh.
n án ánh thì f tòan ánh.
2
: A X, hãy chứng minh
) Nếu f đơn ánh và f o g
1
= f o g
2
thì g
1
= g
2
.

7
→ →
và g, chứng minh:

1) Nếu h đơn ánh thì f đơn án
2
3) Nếu h là t anh thì g la
4) Nếu h tòa h và g đơn

8. Cho ba ánh xạ f : X
→
Y và g
1
, g

→

2
mà g
1
o f = g
2
o f kéo theo g
1
= g
2
, thì f là tòan ánh.
a á tự nhiên và tập hợp các số tự nhiên chẵn.
) Tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số nguyên chẵn.
) Đoạn [0, 1 ] và đoạn [a, b ]
) Đoạn [0, 1 ] và nửa trục [a, +

9. Cho ba ánh xạ f : X
→ →

1) Nếu f tòan ánh va
2

10. Hãy thiết lập các song ánh giữa các tập hợp sau

1) Tập hợp c ùc so
2
3) Tập hợp các số hữu tỉ ở trong đọan [0, 1 ] và tập hợp các số tự nhiên .
4
5
∞
], a > 0.

16. Xét tính kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử đơn vò trái - phải của
phép toán
*
trên tập hợp X.
1) a
*
b = 2a + b – a
2
, X = 9

2) a
*
b = , X = 9

3) a
*
b =
6

1
c

1
∈

→

→

≤

x + y
, X = 3 7. Cho X là một tập hợp mà trên đó có hai phép toán trong
*
và ⊥ với phần tử
o
X.
P g trên tập các số vô tỉ không?
6) a
*
b = a
b
, X = ∠
1
đơn vò tương ứng là e
0
và e. Ngòai ra phép toán
*
phân phối trái đối với phép ⊥ và
phép toán ⊥ phân phối trái đối với phép
*
. Chứng minh rằng a
*
a = a và a ⊥ a =
với m ïi a

)
σ
: ∠
→
+
:= {n
∈
∠ : n ≠ 1} là một song
2
∠ ánh.
gọi là một số tự nhiên.
gười ta kí hiệu
(1) = 2, (2) = 3,

3) Nếu
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
.
.
.
)n(
1
S
σ∈
∈
⊂
S

+
( số đứng liền sau số n ), với '' giả thiết qui nạp'' rằng tính chất E đúng
= n
+ +
phần tử n '' t
-
σ
(n) ≠ 1, n, tức là, số 1 không đứng liền sau bất kì số tự nhiên nào.
+
-
∀
n
∈
∠ , ∃! m ∠ :
σ
(m) = m
+
= n, tức là mỗi số tự nhiên khá
sau không uá m

b) Tiên đề 3) cho một phương pháp chứng minh gọi là phép chứng minh qui
N
hết ta chứ g minh tính chất đ
c
cho số n.

+
c) m = n ⇔ m
+


∀
m
∈
∠, ∃ ánh xạ (n,m) n + m thỏa a) và b)}
Với n = 1, đặt 1 + m = m
+
thì rõ ràng rằng 1
a
-
∈
S.
n
+
+ m = (n + m)
+
thì
= ((n + m)
+
)
+
= (n
+
+ m)
+

ùp toán (m,n n
*
m thỏa mãn các tính chất

*

+
)
+

- Từ đó, n
+

∈
S, và theo tiên đề 3) thì S = ∠ .

Sự duy nhất. Giả sử còn có phe )
a
n
∈

*
∠ : n + m = n m, n ∠}. Vì n
+1 =
∀
∈

*
n
+
= n
*
1 nên 1
∈
S . Giả sử m
∈

• Tính kết hợp: Đặt S = {k
∈
∠ : m + (n + k) = (m + n) + k
∀
n, m
∈
∠
, vì m + (n + 1) = m + n
+
= (m + n)
+
= (m + n) + 1.
iả sử k
S,
= (m + (n + k))
+
= ((m + n) + k)
+
= (m + n) + k
+
.
iao hoán : Nếu đặt S = {m
}.
Ta có 1
∈
S
G
∈
khi đó m + (n + k
+

+
= m + k
+
Ta có 1
∈
S, vì 1 + n = n
+
= n + 1
G
∈
khi đó n + m
+
= (n + m)
+
= (m + n)
+
= m + n
+
= m + (1 + n)
= (m + 1) + n = m
+
+ n.

ra m

∈
S. Từ đ
• Thỏa luật giản ước : S = {k
∈
∠ : nếu n + k = m + k thì n = m }.


a) n • 1 = n với mọi n
∈
∠
b) n • m
+
= n • m + m với mọi n, m
∈
∠

• Để đònh nghóa phép nhân được đúng đắn, cần phải chỉ ra rằng tích của hai số tự
át. Điều này được làm bằng cách tương tự
hư đã làm đối với phép cộng.
nhiên tồn tại và được xác đònh duy nha
n

1.5 Đònh lí
a) (∠, • ) là vò nhóm giao hoán, thỏa luật giản ước.
Chứng minh: a
1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
b) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Chứng minh bằng phương ph ùp qui nạp tương tự như đối với phép
cộng. Phần tử đơn vò là số 1. 
• Nếu với hai số m và n cho trước , có một số k
∈
N

m

• Các quan hệ
≤
, < là các quan h thứ tự trên tập

Ta nói một nửa nhóm (vò nhóm, nhóm) (X, •
thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt) nếu trên tập X đã xác đònh một
quan hệ thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt), < , sao cho

∈

từ x
*
a < y
*
a hoặc a
*
x
∈

1.7 Đònh lí:
các quan hệ thứ tự
≤
, < nửa nhóm cVới ộng (∠ ,+) và vò nhóm nhân (∠ , •) là
được sắp thứ tự tòan phần, tốt và mạnh.

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 24 -

= m + 1, từ đó m
sử n
∈
S. Có ba kh
≤
n
+
, tức là n
+

∈
-
S.
- Nếu n < m thì m = n + k với k
∈
∠ nào đó, thế thì m = n + 1 = n
+
hoặc
= n + h
+
= (n + h)
+
= n
+
+ h (với h
+
= k), từ đó n
+

≤

∈
A }
Trước hết ta có 1
∈
S và S ≠ ∠ ( vì nếu x
∈
A thì do x
+
> x nên x
+
S).
∉
Ta luôn tìm được một số b
∈
S sao cho b
+

∉
S, vì nếu không, tức là với mọi b
∈
S
suy ra b
+

∈
S, thì do tiên đ ) ta có S = ∠ . Số b này phải thuộc A. Thật vậy, nếu b
A thì do b S nên ta có b < x với mọi x
ề 3
∉
∈ ∈

b ⇔ a + c
≤
b + c , với mọi c

∈
∠
a
b ⇔ ac bc , với mọi c

≤ ≤
∈
∠
Giả sử a
b. Nếu a = b thì rõ ràng a + c = b + c, ac = bc. Nếu a < b thì ta có b = a ≤
-
+ k với k
∈
∠ nào đó. Khi đó
b + c = (a + k) + c = (a + c) + k
⇒
a + c < b + c
bc = (a + k )c = ac + kc
⇒
ac < bc.

- Giả sử a + c
≤

• Phép cộng giữa hai số nguyên [m, n] và [p, q] được xác đònh bởi

[m, n ] + [p, q] = [m + p, n + q]

• Để đònh nghóa được hợp lí, cần phải chỉ ra rằng đònh nghóa trên không phụ thuộc
vào việc chọn đại diện của [m, n]và [p, q], tức là phải chứng minh rằng, nếu (m, n)
~ (m', n') và (p, q) ~ (p', q') thì (m + p, n + q) ~ (m' + p', n' + q'). Thật vậy, theo đònh
hân
nghóa: m + n' = n + m' và p + q' = q + p',
từ đó, (m + p) + (n' + q') = (n + q) + (m' + p'). Lại từ đònh nghóa suy ra điều phải
chứng minh.

2.3 Phép n
v
• Để đònh nghóa được hợp lí, cũng cần phải chỉ ra rằng đònh nghóa trên không phụ
ện của [m, n]và [p, q] . Giả sử (m, n) ~ (m', n') và (p, q)
~ (p', q'). Khi đó m + n' = n + m' (1) và p + q' = q + p' (2)
mp + nq + m'q' + n'p' = mq + np + m'p' + n'q',

Tức m'p' + n'q', m'q' + n'p').

• Phép nhân giữa hai số nguyên [m, n] à [p, q] được xác đònh bởi

[m, n ]•[p, q] = [ m p + n q, m q + n p]

thuộc vào việc chọn đại di