Cao Hào Thi 74
Chương 7

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ
(Estimation)
7.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Xét một tập hợp chính gồm N biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f (x,θ); trong
đó θ là các tham số thống kê của tập hợp chính.
Thí dụ:
Trong phân phối nhị thức:

fx C
n
xx nx
(, ) ( )
θρρ
=−
−
1
⇒ θ = ρ, θ ∈ [0 , 1]
Trong phân phối poisson

fx
e
x
x
(, )
!
θ
λ
λ

2
,.... , x
n
} là mẫu ngẫu nhiên, cỡ mẫu n được dùng lấy ra từ tập hợp chính tuân
theo hàm mật độ xác suất f (x,θ). Ở đây dạng của hàm f xem như đã biết còn các tham số
thống kê θ của tập hợp chính xem như chưa biết.
Vấn đề đặt ra ở chương trình này là dựa vào các mẫu quan sát {x
1
,x
2
,...,x
n
} ta ước lượng
xem giá trị cụ thể của θ bằng bao nhiêu (bài toán đó gọi là ước lượng điểm ) hoặc ước
lượng xem θ nằm trong khoảng nào (bài toán ước lượng khoảng).

7.2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM (Point Estimation)

7.2.1 Ước lượng và giá trị ước lượng (Estimator And Estimate)

a) Ước lượng (Estimator) và hàm ước lượng
- Là biến ngẫu nhiên hay các tham số thống kê của mẫu được dùng để ước lượng các
tham số thống kê chưa biết của tập hợp chính.
- Ước lượng của tham số thống kê θ của tập hợp chính được ký hiệu là
θ
ˆ

- Dựa vào mẫu {x
1
,x

số chưa biết θ của tập hợp chính.
b) Giá trị ước lượng (Estimate) hay còn gọi là giá trị ước lượng điểm (Point
Estimate)
Là giá trị cụ thể của ước lượng
θ
ˆ
và được xem như giá trị ước lượng của tham số thống
kê θ của tập hợp chính.
Tham số thống kê và tập hợp
chính (Population Parameter)
Ước lượng (Estimation)
Giá trị ước lượng
Estimate (Point estimate)
Số trung bình
µ
X

Phương sai
2
x
σ

S
x
2

Độ lệch chuẩn
σ
x


µ
=> X là ước lượng không chệch của
µ

E(S
x
2
) =
2
x
σ
=> S
x
2
là ước lượng không chệch cuả
2
x
σ

E (
f
ˆ
) = p =>
f
ˆ
là ước lượng không chệch của p
b) Độ chệch (The Bias)
Gọi
θ
ˆ

1
được gọi là hiệu quả hơn
θ
ˆ
2
nếu: Var (
θ
ˆ
1
) < Var (
θ
ˆ
2
)
o
Hiệu quả tương đối giữa hai ước lượng là tỉ số giữa 2 phương sai của chúng.
Hiệu quả tương đối (Relative Efficency) =
)
ˆ
(Var
)
ˆ
(Var
1
2
θ
θ

Cao Hào Thi 76
o

1

θ
ˆ
1
: ước lượng không chệch của
θ

θ
ˆ
1
θ
ˆ
2
: ước lượng không chệch của
θ

θ
ˆ
2
: ước lượng chệch của
θ

θ
ˆ
1
ước lượng hiệu quả hơn
θ
ˆ
2

θ
ˆ
)]
2

MSE (
θ
ˆ
) = Var (
θ
ˆ
) + [ Bias(
θ
ˆ
)]
2Nếu
θ
ˆ
là ước lượng không chệch ta có:Bias(
θ
ˆ
) = 0

⇒

ˆ
n
-
θ
|
≤

ε
) = 1
tức là dãy
θ
ˆ
n
hội tụ theo xác suất tới
θ
khi n
→

∞

Cao Hào Thi 77
7.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG (Interval Estimation)
7.3.1 Khoảng tin cậy (Confidence Interval)
a) Ước lượng khoảng và giá trị ước lượng khoảng
(Interval Estimator And Interval Estimate).

Ước lượng khoảng: Ước lượng khoảng đối với tham số thống kê của tập hợp chính
θ

là một quy tắc dựa trên thông tin của mẫu để xác định miền (Range) hay khoảng

o
Trong thực tế, độ tin cậy (1-
α
) do nhà thống kê chọn theo yêu cầu của mình,
thông thường độ tin cậy được chọn là 0,90; 0,95; 0,99...
o
α
là xác suất sai lầm khi chọn khoảng tin cậy (a, b)
7.3.2 Khoảng tin cậy đối với số trung bình của phân phối chuẩn trong trường hợp
đã biết phương sai của tập hợp chính:
Nghĩa là đi tìm ước lượng của
µ
trong N (
µ
,
σ
x
2
) khi đã biến
σ
x
2

a) Điểm phần trăm giới hạn trên Z (Upper Percentage Cut Off Point)
Gọi Z là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa và
α
là số bất kỳ sao cho 0 <
α
< 1
Z


Chứng minh:
Do tính đối xứng: P(Z > Z
α
/2
) =
2
α

P (Z < -Z
α
/2
) =
2
α⇒
P (-Z
α
/2
< Z < Z
α
/2
) = 1 -
2
α
-
2
α

,
σ
x
2
). Nếu
σ
x
2
và
số trung bình mẫu đã biết, giá trị trung bình tập hợp chính được tính bởi.

x
Z
n
x
Z
n
xx
−−
−<<+
αα
σ
µ
σ
//22

Trong đó Z
α
/2
là số có P (Z > Z

P (-
n
Z
x/
σ
α 2
<
µ−X <
n
Z
x/
σ
α 2
) = 1 - α
P (
X
-
n
Z
x/
σ
α 2
< µ <
X
+
n
Z
x/
σ
α 2

Z
n
x
Z
n
xX
−<<+
αα
σ
µ
σ
//22

Với
X
= 19,8 kg σ
x
= 1,2 kg n = 25 Z
α/2
= 1,96
Vậy : 19,33 < µ < 20,27
Ghi chú:
ε =
n
Z
x/
σ
α 2
: gọi là độ chính xác của ước lượng hay dung sai
X là trung tâm của khoảng tin cậy với bề rộng của khoảng tin cậy của µ là

= 1.2 1-
α
= 0.99
n = 25
n = 64
n = 25
σ
x
= 1.2
σ
x
= 1.2
σ
x
= 1.2
1-
α
= 0.95
1-
α
= 0.95
1-
α
= 0.95

c) Khoảng tin cậy của số trung bình
µ
trong tập hợp chính trường hợp cỡ mẫu lớn.
Giả sử ta có mẫu với cỡ mẫu là n được lấy từ tập hợp chính có số trung bình là µ.
Gọi