ch-ơng 3Trạng thái ứng suất và thuyết bền

1 Khái niệm
1- Trạng thái ứng suất tại 1 điểm
Trong ch-ơng kéo nén ta đã biết, tại một điểm,nếu ta cho 1 mặt cắt ngang đi
qua thì ứng suất trên đó là ứng suất pháp có giá trị là

z
z
N
F

. Cũng tại điểm đó ,
nếu ta cho một mặt cắt song song với trục của thanh đi qua thì ứng suất lại bằng 0.
Điều đó chứng tỏ, tại 1 điểm, nếu cho các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó, thì
cũng thu đ-ợc các giá trị -s khác nhau.
Trong tr-ờng hợp tổng quát, xét 1 vật thể bất kỳ chịu 1 hệ lực tác dụng. Qua
điểm C bất kỳ, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua đó thì ta cũng thu đ-ợc
các giá trị -s pháp, tiếp khác nhau (hình vẽ)
P
1
P
n
C P
2
Điều đó chứng tỏ -s không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ
thuộc vào vị trí của mặt cắt ngang đi qua điẻm đó.
Vậy: Trạng thái -s tại một điểm là tập hợp tất cả các giá trị -s pháp và tiếp trên



zy
z
y
T-ởng t-ợng xung quanh điểm K cần khảo sát, ta tách ra 1 phân tố hình hộp vô
cùng bé có các kích th-ớc là dx.dy.dz. Trên các mặt của phân tố, ta đặt các thành
phần -s pháp và tiếp vào, ta có 9 thành phần -s nh- trên hình vẽ
Đó là:


x y z xy yx xz zx yz zy
, , , , , , , ,
Trong đó, theo lý thuyết đàn hồi ta có: -s tiếp có giá trị bằng nhau từng đôi một:


xy yx xz zx yz zy
; ;
Nh- vậy ta có 6 thành phần -s độc lập trên 1 phân tố
* Quy -ớc tên gọi và dấu của các thành phần -s
- ứng suất pháp:
. Tên gọi: chỉ số của -s pháp chỉ ph-ơng song song với nó
. Dấu:Mang dấu d-ơng khi h-ớng ra ngoài mặt cắt, mang dấu âm ng-ợc lại.
- ứng suất tiếp:
. Tên gọi: chỉ số thứ nhất chỉ ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt chứa nó, chỉ số thứ 2
chỉ ph-ơng song song với nó
. Dấu:Nhìn theo chiều trục không chứa trong tên gọi, thấy pháp tuyến ngoài của
mặt cắt quay 90
0
theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó thì mang dấu

1 ứng suất trên mặt cắt xiên
Xét 1 phân tố ở trạng thái -s phẳng ở vị trí bất kỳ,tồn tại các -s pháp và tiếp là

x y xy yx
, , ,
. Để đơn giản ng-ời ta biểu diễn trạng thái -s phẳng bằng hình
chiếu của nó(trên hình vẽ)
T-ởng t-ợng dùng 1 mặt cắt xiên có ph-ơng pháp tuyến ngoài của mặt cắt so với
chiều d-ơng của trục x một góc là

cắt phân tố. Xét 1 phần,ta có trên mặt cắt
xiên xuất hiện -s pháp, và -s tiếp là,
nh- trên hình vẽ.
yx

y

xy

xy



x

x



x y x y
xy
2 2
2 2.cos sin
(3.1)
T-ơng tự, chiếu theo ph-ơng của


ta tìm đ-ợc:








x y
xy
2
2 2sin cos
(3.2)
Công thức 3.1 và 3.2 là công thức xác định -s trên mặt cắt xiên.Ta hãy khảo sat 2
công thức này:
*ứng suất trên mặt cắt vuông goc với mặt cắt xiên
: Khi dó góc xiên sẽ là

+90
0

nhau luôn là hằng số.
Ta lại xét:









90
0
2
2 2
x y
xy
sin cos
Từ đó ta có luật đối ứng của -s tiếp:-s tiếp trên 2 mặt vuông góc với nhau thì có
giá trị bằng nhau,và có chiều cùng h-ớng vào cạnh chung hoặc cùng h-ớng ra xa
cạnh chung.
*Đối với trạng thái -s đơn :Ta có trạng thái -s đơn có

y xy
0
.Theo 3.1, 3.2 ta
có:





x y
xy
2
2 2 0sin .cos

Từ đó ta có:
tg2







2
2
0
xy
x y
tg
(3.3)
Đây là công thức xác định ph-ơng chính của mặt chính.Trong đó

0
là góc của
pháp tuyến ngoài của mặt chính so với trục x. Dễ dàng ta có: 0

x y x y
xy
2 2
2
2
(3.4)
3- ứng suất tiếp cực trị và ph-ơng của mặt chứa nó
Đạo hàm công thức 3.2, rồi cho bằng 0, ta tìm đ-ợc ph-ơng của mặt chứa -s
tiếp cực trị là tg2




1 0
2
2



x y
xy
gcot
Ta có

0 1
4 k /
Nh- vậy thì ph-ơng chính luôn nghiêng 45
0
so với ph-ơng của mặt có -s tiếp cực
trị.

Trên đây là ph-ơng pháp giải tích xác định -s trên mặt cắt xiên, -s chính và
ph-ơng chính, -s tiếp cực trị.
3 nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng
ph-ơng pháp đồ thị - vòng tròn mor
1-Thành lập ph-ơng trình vòng tròn mor
Theo công thức 3.1, 3.2 ta có:





















x y x y
xy
2 2




















x y x y
xy
2 2
2
2
2
2
Ta đã biết ph-ơng trình chính tắc của vòng tròn là:


x a y b R


trục hoành là

+ Trên trục hoành lấy điểm E(

y
,0
) và điểm F(

x
,0
)
+ Chia đôi khoảng cách FE ta đ-ợc tâm C của vòng tròn
+ Lấy điểm cực P(

y xy
,
). Nối CP
+ Lấy CP làm bán kính, quay 1 vòng tròn có tâm là C, ta đ-ợc vòng tròn đã dựng
gọi là vòng tròn Mor
Ta có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc đây chính là vòng tròn dựng đ-ợc theo
ph-ơng trình trên
3-Công dụng của vòng tròn mor
a) Xác định đ-ợc ứng suất trên mặt cắt xiên: Từ điểm cực P kẻ 1 tia song với
ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt xiên cắt vòng tròn tại 1 điểm K. K có toạ độ là ,
b) Xác định -s chính và ph-ơng chính: vòng tròn cắt trục hoành tại 2 điểm A và
B t-ơng ứng với giá trị -s chính và cũng chính là -s cực trị. Nối PA và PB ta đ-ợc