CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁCI. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của
ABC
Δ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=Do
A BC
+ +=π

Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔ +−=+−

⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB
2cos cos
22
AB

⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3Bài 202: Tính các góc của
ABC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=Ta có:
() ()()

=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0
2cosA 3cos B C 3sin B C 0
sin B C 0
BC 0
3
3
cos A
cos A cos B C
2
2

22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B
2
+

C1
cos
22
⇔=
(do
A

Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A BC
<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A BC++=π
nên
B
3
π
=

Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2
+
++=33
sin A sin sin C
32
3
sin A sin C
2
AC AC 3
2sin cos
222

π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ
⎪⎪
==
⎪⎪
⎩
⎩
CA
C
26
2
2
CA A
36
BB
33


Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤

Do đó:
A
A
24
ππ
≤<π⇔≤ <
22
π

Vậy
()
A2
cos cos
242
π
≤ =∗

Mặt khác:
sin A sin B sin C
++
BC BC
sin A 2sin cos
22

Mà
sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+

Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩
sin A 1
A 2
cos
22
BC
cos 1
2
π
⎧
=
⎪
⎪
⇔

2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+ −
+−

⇔
M =
2
A BC
2cos A 4 2sin cos 4
22
−
+−

Do
A
sin 0
2
>
và
B - C
cos 1
2
≤

Nên
2
A

M12sin 42sin
22
AA
M4sin 42sin 2
22
A
M22sin 1 0
2
⎛⎞
⇔≤− + −
⎜⎟
⎝⎠
⇔≤− + −
⎛⎞
⇔≤− − ≤
⎜⎟
⎝⎠
4

Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy:
2
0
0
cos A cos A
A90
BC
cos 1
2
BC45

()
2
2
2
2
2
2
2
BC BC
cos A 2 2 cos cos 2 0
22
ABC
cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0
22
AABC
cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0
222
ABC BC
cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0
22 2
ABC B
cos A cos A 1 2 sin cos sin
22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −


Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0
Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A BC
2sin cos
22
BC
sin 0
2
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩⎧
=

333
AB AB
2sin cos sin C 0
23 2 3
πππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔−+−+−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+π − π
⎛⎞ ⎛
⇔−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
=
⎟
⎠

CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥


ππ
⇔=∨=∨=CAB
33
π
3Bài 208: Cho
ABC
Δ
và V = cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
ABC
Δ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
ABC
Δ
có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
ABC
Δ
có một góc tù

⎣⎦
⇔=−

Do đó:
a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0
= ⇔=∨=∨=

⇔
ABC
Δ
⊥
tại A hay
ABC
Δ
⊥
tại B hay
ABC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cos B.cosC 0
< ⇔>⇔
ABC
Δ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )

cotg
2b
+
=

++
⇔= =
B
cos
2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2

+−
⇔=
BACA
cos 2sin .cos
22
BB
sin 2 sin . cos
22
C
2
B
2

−