ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2001
Câu I: Cho hàm số sau:

Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính ?
Câu II
Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1; MB = MC = 6.
Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu III Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0); A(a;0)
và elip (E) có phương trình:
với a > b > 0.
Trên elip (E) lấy điểm M bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAA' khi điểm M chuyển
động trên elip (E).
Câu IV Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn:

Câu V Cho hai phương trình sau:
(1)
(2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2).
--------------------------------------------------------HẾT-------------------------------------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2002
Câu I Giải hệ phương trình:
.
Câu II Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

Câu III Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC.
1) Chứng minh rằng:

2) Xác định giá trị của A, B, C để biểu thức:


--------------------------------------------------------HẾT--------------------------------------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2005
Câu I (6,0 điểm).
Cho hàm số , (m là tham số).
1) Khi , hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
Câu II (4,0 điểm).
Tính tích phân
Câu III (7,0 điểm).
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương trình:
và đường tròn (C) có phương trình:
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;-1)
và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
. Gọi thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm . Biết rằng
cắt ở điểm N. Hãy chứng minh điểm N nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu IV (3,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng , ta đều có:
.
--------------------------------------------------------HẾT--------------------------------------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2006
Bài 1 (5 điểm).
Cho hàm số (với m là tham số).
1. Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x = 0,
gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tìm cosin của góc giữa (d) và
(d').
2. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu