ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 Giả sử : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a  0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0  x =
a3
b
(a  0 )
x =
a3
b
là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2


với x
1
< x
2
 hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)








0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y

ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < 











0)

ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - )(ax
2
+ b
1
x + c
1
)
nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta có các trường
hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
ii) nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x = 
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt   thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép   thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C
m
) và họ đường thẳng (D
k
) lần lượt có phương trình là

) cắt (C
m
) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (D
k
) cắt (C
m
) thành
hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C
m
) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C
m
) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thò (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại
tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x
2
+ 6x  hệ số góc của tiếp tuyến tại M
là k
1
= – 3n
2
+ 6n  (0, 3] (vì n  (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp
tuyến tại M có hệ số góc là k

1
 (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt
mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

2) E (e, 1)  . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D).
(D) tiếp xúc (C)  hệ





hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
có nghiệm.
 Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x
3
+ 3x
2
– 3 = (– 3x
2
+ 6x)(x – e)+ 1 (1)
 – x
3
+ 3x
2
– 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
 (x – 2)(x

3
5
 (1) có 1 nghiệm  có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thò, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1)
chắc chắn có nghiệm x = 2,  e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1),  e và đường x =  không là tiếp
tuyến nên yêu cầu bài toán.
 (2) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa : y'(x
1
).y'(x
2
) = – 1










1)x6x3)(x6x3(
)2(củanghiệmlàx,x
3
5

ehay1e
2121
21
21









1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e

 e =
27
55
. Vậy E






1,
27

2
xx
43



1
2
6)xx(3)xx(
2
yy
2
4
2
3
3
4
3
343





Vậy điểm cố đònh (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M
3
M

0
2
0
23
0
3



0x6x3x3x3xxxx0xx
2
0
2
00
2
0



0x3xx)x3(x2hayxx
0
2
00
2
0



0)3xx2)(xx(hayxx
000

= 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x
0
là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm
kép là x
0

Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x
2
+ 2mx
6) (C
m
) qua (x, y), m
 y + x
3
= m (x
2
– 1) , m













 a
1
.a
2
= – 1  9 – 4m
2
= – 1  m =
2
10
.
7) Hàm có cực trò  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
 3x
2
= 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
 x = 0 và x =
3
m2
là 2 nghiệm phân biệt.
 m  0. Khi đó, ta có :

'ym
9
1
x
3
1
mxm
9
2
y

x
1
.x
2
= 0 và x
1
+ x
2
=
3
m2

 y(x
1
).y(x
2
) =














) < 0

2
4
10
27
m  


2
33
m
4
27
m
2


Vậy (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.