186
CHƯƠNG 5
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT
BẤT ĐẲNG THỨC.
BÀI 1
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
A. Phương trình mũ:
1. Dạng cơ bản: với
f(x)
b
a
b0
0a1:a b
f(x) log
>
⎧
⎪
<≠ =⇔
⎨
=
⎪
⎩

2. Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về dạng:
f(x) g(x)
aa=
(1)
. Nếu a là một số dương và khác 1 thì :
(1) f(x) g(x)⇔=

ta,t0=> với a thích hợp để đưa phương
trình mũ về phương trình đại số. Lưu ý những cặp số là nghòch đảo của
nhau như
21,±

23,± 38,± 52,± 524,± …..
5. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Một số phương
trình được giải bằng cách tìm một nghiệm đặc biệt và dùng tính chất
hàm số mũ để chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

187

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như phương trình mũ và các
công thức sau:
. Nếu a > 1 thì:
f(x) g(x)
a a f(x) g(x)>⇔>

f(x) g(x)
a a f(x) g(x)≥⇔≥

. Nếu 0 < a < 1 thì:
f(x) g(x)
a a f(x) g(x)>⇔<

f(x) g(x)
a a f(x) g(x)≥⇔≤
↓


Ví dụ 1:
Giải phương trình:
xxx
(2 3) (2 3) 4
− ++ =

(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1998)
Giải
xxx
(2 3) (2 3) 4− ++ =

xx
23 23
1
44
⎛⎞⎛⎞
−+
⇔ +=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(1)
Vì
23
01,
4
−
< < và
23
01

t10t160⇔− +=
t8t2⇔=∨=
. t = 8:
x2 3
282x23x11
−
== ⇔ −=⇔=
. t = 2:
x2
22x21x3
−
=⇔ −=⇔=
Vậy nghiệm phương trình: x 11 x 3=∨=

Ví dụ 3:

Giải phương trình:
2xx
(3 2) (3 2) (5)−++=

(ĐH Ngoại Thương Hà Nội năm 1997)
Giải
Ta có:
2xx
( 3 2) ( 3 2) ( 5)−++=
* Xét x < 0: Vế trái =
2x
(3 2) (3 2) 1−++>>
vế phải
* Xét

t
=+ >⇒− =189
2
t322
1
(2) t 6 t 6t 1 0
t
t322
⎡
=+
⇔+ = ⇔ − += ⇔
⎢
=−
⎢
⎣

. t = 3
tgx
22:(3 22) 3 22 tgx1 x k (kz)
4
π
+ +=+⇔=⇔=+π∈

. t = 3
tgx1
1
22:(322) 322 (322)

t(322) 0⇒= + >

(1) có đúng 2 nghiệm
x,
22
ππ
⎛⎞
∈ −⇔
⎜⎟
⎝⎠
(3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
dương.
2
m40
0
p0 10(hiển nhiên) m2
s0 m0
⎧
−>
∆>
⎧
⎪
⎪⎪
⇔ >⇔ > ⇔ >
⎨⎨
⎪⎪
>>
⎩
⎪
⎩

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(2)

190
Đặt
x
x
31
f(x)
22
⎛⎞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
là hàm số giảm vì cơ số a < 1 (a > 0) và
f(2) = 1.
(2) f(2) f(x) x 2⇔<⇔<
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2
Ví dụ 6:

Giải bất phương trình:
xx1x
25 5 5 5

(ĐH Kỹ thuật Công Nghệ năm 1998)
Giải
x3x
22 9
−
+≤
x3x x
x
8
22.2 92 90
2
−
⇔+ ≤⇔+−≤
(1)
Đặt
x
t2= (t > 0)
2
8
(1) t 9 0 t 9t 8 0 1 t 8
t
⇔+ −≤ ⇔ − +≤ ⇔≤≤
0x3
222 0x3⇔≤≤⇔≤≤

191
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
1.1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn
35
,


(ĐH Ngoại Thương năm 1997)

1.5. a. Giải bất phương trình:
21
1
xx
11
312
33
+
⎛⎞ ⎛⎞
+ >
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
(*)
b. Đinh m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của:
2
2x (m 2)x 2 3m 0+ ++−< 192
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT

1.1.
2
cos2x cos x
443(1)+=
với
35

⎡
⇔+−=⇔+−=⇔
⎢
=− <
⎣

t = 2:
22
cos x 2 2 2 cos x
42(2cosx)22 2=⇔ =⇔ =

22
12 335
2cos x 1 cos x cosx x x ,
224442
ππ
⎡ ⎤
⇔=⇔=⇔=±⇔=∨=∈−
⎢ ⎥
⎣ ⎦

1.2.
xxx
(3m 1).12 (2 m).6 3 0++−+< (1)
xx
(3m 1).4 (2 m).2 1 0⇔+ +− +<
(*)
Đặt
x
t2(t0)=>

2
22
7t 6t 1
f'(t) 0
(3t t)
+−
=>
−
(vì
2
t1 7t 6t10)>⇒ + −>193
BBT:

mminf(t) 2 m 2⇒< =−⇔<−

1.3.
xx
4m.2m30−++≤ (1)
Đặt
x
t2= (t > 0)
2
(1) t mt m 3 0⇔ −++≤
2
t 3 m(t 1) (t 1)⇔ +≤ − ≠
2
2

−

2
t1
f'(t) 0 t 2t 3 0
t3
= −
⎡
=⇔ − −=⇔
⎢
=
⎣

BBT:

Từ BBT (1)
⇒
có nghiệm
m3
m6
≤ −
⎡
⇔
⎢
≥
⎣
194

. Đặt
1
x
1
t0
3
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠

2
tt120t4t3
⇔+−>⇔<−∨>
(loại).
với t > 3
1
1
x
x
111
33 3 1 10
3xx
−
⎛⎞
⇔>⇔>⇔−>⇔+<
⎜⎟
⎝⎠

x(x 1) 0 1 x 0⇔+<⇔−<<

≥⇔ ≥
⎪
⎩