Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 1

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

NGUYỄN PHÚ KHÁNH
-----oOo-----

Phương pháp giải Toán 12CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

ε
cho trước, tồn tại
số tự nhiên N sao cho
n N∀ >
ta có
n
U L ε− <
. Ta viết:
lim
n
n
U L
→∞
=
, viết tắt là
lim
n
U L
=

Đònh nghóa 2: Cho hàm số f(x) xác đònh trên một khoảng I, có thể loại trừ tại điểm
0
x I∈ .
Ta nói rằng f(x) có giới hạn là L (hay tiến dần tới L), khi x tiến dần tới x
0
nếu mọi dãy số: (x
n
);
0
( , , )

n
); (
0n
x x≠
) sao cho:
0
lim
n
x x
=
thì
lim ( )
n
f x = ∞
ta viết
0
lim ( )
n
x x
f x
→
= ∞
hoặc
( )f x → ∞
khi
0
x x→

Đònh nghóa 4: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x
dần tới x

n
x x
f x
−
→
= ∞
)
 Chú ý:

Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
n
x x
f x L
→
=
và giới hạn
0
lim ( )
n
x x
f x
+
→
và
0
lim ( )
n
x x

2
2
4
1
1
4
lim
1
4
2 2
lim
2 2
4
1
1
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x

lim lim
2
9 2
9
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
→∞ →∞
 
+ + +
 
+ + +
 
=
+ −
 
+ −
 
 

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 4

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

→−∞ →−∞

+ + + + + +


= =

+ − + −


=


− + + + − + + +

= = −


+ − − + −

2. Các đònh lí cơ bản:
Đònh lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (với giới hạn của mẫu thức khác 0) của hai
hàm số khi x x
0
(hay x
∞
) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn khi x x

0 0
sin
lim lim 1
sin
a a
a a
a a
→ →
= =

Ví dụ 2: Tính
2
2
0
sin 9
lim
3
x
x
x
→

2
2 2 2
2 2
0 0 0 0
2
sin 9 sin 9 sin 9 sin(3 )
lim lim 3lim 3lim 3
1

e
a
→∞
 
+ =
 
 

( )
0
ln 1
lim 1
a
a
a
→
+
=
và
0
1
lim 1
a
a
e
a
→
−
=
Ví dụ 3: Tính

−

•
Ta có:
3 5
1
2 2
x
x x
+
= +
+ −

•
Đặt
5 5
4 6
2
a x
x a
= ⇒ + = +
−
. Khi x
∞
thì a  0
•
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5


5

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

•
Đặt
2
t x
π
= −
khi
2
x
π
→
thì t  0 và
( )
2
2
4
x t t
π
π
− = − −

( ) ( )
( )
( )
1

t
U t e
→
=
(vì
( )
0
1
lim 1
a
a
a e
→
+ =
)
Mặt khác:
( )
0 0
sin sin 1 1
lim lim .
t t
t t
t t t t
π π π
→ →
−
= =
− − −

Vậy


2
3 2
2
5 6
lim
4
x
x x
x x

+
2
0
1 2 1
lim
1 cos
x
x
x

+


4 4
2
0

x

+ + +( )
2
2 3 2
2
0
1
lim
ln 1
x
x
e x
x


+
+
Daùng 2: Daùng voõ ủũnh


. Tớnh caực giụựi haùn sau
2
2
3 7 8
lim
11 3 9

Daùng 4: Daùng voõ ủũnh
0.
hay
.0
.
Tớnh caực giụựi haùn sau
( )
(
)
2
lim 2 5 2 4 3
x
x x x
+

+
( )
4
lim 4 . 2
x
x tg x





=> y = f(x) liên tục bên trái tại điểm x = 0 và không
liên tục bên phải tại điểm đó
=> y = f(x) liên tục bên phải tại điểm x = 0 và không
liên tục bên trái tại điểm đó
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Một số đònh nghóa:
Đònh nghóa 1: Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x
0
, nếu x
0
là một điểm thuộc tập xác
đònh của hàm số và
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=

 Chú ý:

-
Nếu ta chỉ có:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

= =

− ≤

với
với

2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x

+ ≠

= =


=

với
với*
2
2 0

→ →
→ →

= + = ≠


= − = − =

*
2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x

+ ≠

= =


=

với
với

= + = ≠
 

 
Ví dụ 2:
Cho hàm số
2
1 1
0
( )
0
x
x
y f x
x
A x

− −

≠
= =


=

với
với


Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 (
)
(
)
( )
2 2
2
0 0 0
2
1 1 1 1
1 1
lim ( ) lim lim
1 1
x x x
x x
x
f x
x
x x
→ → →
− − + +
− −
= =
− +
( )
2

- Hàm số y =
f(x)
gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
- Hàm số y =
f(x)
gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó và:
+ liên tục về bên phải điểm a
+ liên tục về bên trái điểm b

2. Các đònh lí quan trọng về hàm số liên tục:
•

Hai hàm số y =
f(x)
và y = g(x) liên tục tại điểm x
0
thì tổng, hiệu, tích, thương (
0
( ) 0g x ≠
) là
những hàm số liên tục tại x
0

•

Hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a, b) và có
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )x x a b f x f x< ∈ ≠

3
– 5x
2
+ 6x – 1 = 0
b)

x
4
– 2x
3
– 3x
2
– 5 = 0
c)

2
x
+ 3
x
– 6
x
= 0
d)

ln x + x = 0
a) Đặt
f(x)
= x
3
– 5x

– 5 có
(0) 5 0
( 2). (0) 0
( 2) 15 0
f
f f
f
= − <

⇒ − <

− = >


=> Hàm số
f(x)
liên tục trên R nên nó liên tục trên [-2, 0] => tồn tại ít nhất số thực
[ ]
2,0c∈ −
sao
cho
f
(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 9

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10


f(x)
= ln x + x có
(1) 1 0
1
. (1) 0
1 1
1 0
f
f f
f
e
e e
= >


 
⇒ <

 
 
= − + <
 
 

 


=> Hàm số
f(x)
liên tục trên

1. Đònh nghóa:
Hàm số y =
f(x)
xác đònh trên khoảng (a, b) và lấy
( )
0
,x a b∈
. Nếu tồn tại giới hạn
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
hoặc
( )
0 0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →

được nêu: Hàm số y =
f(x)
xác đònh trên khoảng (a, b) và liên tục tại điểm
( )
0
,x a b∈
khi và chỉ
khi
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =

2/ Nếu hàm số y =
f(x)
có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó liên tục tại điểm đó. Đảo lại: Nếu một hàm
số liên tục tại điểm x
0
có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hàm số y = |x| liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại
điểm đó
Thật vậy, ta có:
( )
0 (0) ( )y f x f f x x∆ = + ∆ − = ∆ = ∆

= = = = −
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
= = = =
∆ ∆ ∆

=>
'(0 ) '(0 )f f
− +
≠
nên hàm số cho không có đạo hàm tại điểm x = 0
Ví dụ 2:
Cho hàm số
2
0
0
( )
x x x
y f x
ax b x x

≤

= =

+ >


với

x x x x
x x x x
f x x
f x ax b ax b ax b x
f x x x
+ +
− −
→ →
→ →


=

= + = + ⇒ + =



= =

(1)
* Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = x
0
, ta có
0 0
'( ) '( )f x f x
+ −
=

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008


∆ → ∆ →
−
∆ →

+ ∆ − + ∆ −
= = =

∆ ∆


+ ∆ −

= =

∆


=> a = 2x
0
(2)
Từ (1), (2) ta có:
2
0
0 0
2
0 0
2
2
a x
ax b x

= −
 
 
c cv
v v
(c: hằng số)

Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp U = U(x)
(a)' = 0 (aU)' = a.U'
(ax)' = a
(x
m
)' = m.x
m-1
;
x R
∀ ∈
(U
m
)' = m.U
m-1
(U')
( )
1
;
2
x x R
x
+
′

U
tgU U k
U
π
π
′
= ≠ +

( )
2
1
;
sin
cotgx x k
x
π
′
= − ≠

( )
2
'
cot ;
sin
U
gU U k
U
π
′
= − ≠

x a
< ≠
(log
a
U)' =
'
;( 1)
ln
U
o a
U a
< ≠

(ln x)' =
1
;
x R
x
∀ ∈
(ln U)' =
'U
UVí dụ 3:
a.

Cho
( )( ) ( )
( ) 1 2 ... 2003y f x x x x x= = − − −

 
 
. Tính y’
d.

Cho
ln ln 2003y x x x= −
. Tính y’

a.
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
'( ) 1 2 ... 2003 2 3 ... 2003 ... 1 2 ... 2003f x x x x x x x x x x x x= − − − + − − − + + − − −

'(0) ( 1)( 2)...( 2003) 2003!f = − − − = −

b.
( )
2 1 2 1
2 1 2 ; '(0) 2
x x
y e x e y e
+ +
′
′
= + = =

c.
sin 5 5 5sin 5
5 5 5
y x x x

′ ′
=
•

Đạo hàm cấp 2: ( )y f x
′′ ′′
=
•

Đạo hàm cấp 3:
( )y f x
′′′ ′′′
=
viết
( ) ( )
3 3
( )y f x=

•

Đạo hàm cấp 4:
( ) ( )
4 4
( )y f x=

•

Đạo hàm cấp n:
( ) ( )
( ); 2


Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất
•

Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hopitale (Lôpitan)
Phần này tác giả có hai chuyên đề riêng: (học sinh tìm đọc)
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm
Chuyên đề: Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
** Chú ý quy tắc L’Hopitale:
1.

Quy tắc thứ nhất của L’Hopitale: Khử giới hạn dạng
0
0
.
Nếu
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x x
ϕ
→ →
= =
thì
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
x a x a
f x f x
x x
ϕ ϕ

0. ; ,1 , 0
∞
∞ ∞ − ∞ sẽ đưa về giới hạn trên
4.

Quy tắc L’Hopitale chỉ là điều kiện đủ để tồn tại giới hạn
( )
lim
( )
x a
f x
x
ϕ
→
, do vậy nó không thể thay
thế toàn bộ phương pháp thông thường
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 14

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Vấn đề:

DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hàm số
( )y f x=
xác đònh trong lân cận x

,
x a b∈ :
( )
( )
0
0
( )
'( ) lim ; ,
x
f x x f x
f x x a b
x
∆ →
+ ∆ −
= ∈
∆

0 0
0
0 0 0
0 0
0
: '( ) lim
'( ) '( )
: '( ) lim
x
x
y
x f x
x

0
0 0
'( ) '( ) '( )f x f x f x
+ −
= =

Cơ sở phương pháp giải toán
1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách 1:
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−

Cách 2:
0 0
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )

0
thì
0 0
'( ) '( )f x f x
− +
= (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần tìm

Dùng đònh nghóa để tính đạo hàm các hàm số sau tại x
0

1.
0
( ) sin
3
f x x x
π
= =
tại

2.

0
( ) 2f x x x= =
tại
3.

0
( )
4

∆Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 15

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1.
3 3 3
( ) sin sin 2 cos
3 3 2 6
lim lim lim
3 3 3
x x x
x
f x f x
x x x
π π π
π π π
π π π
→ → →
     
− − +
     
     
= =
− − −


16

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 2.
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
( ) (2) 2 1 1 2
lim lim lim ' 2
2 4
2 2 2
2
x x x
f x f x
f
x
x
x
→ → →
− −
= = = ⇒ =
−
+
−
− − −4.
( ) ( )
0 0
0 0 0 0
0 0
( ) sin 3cos sin 3cos
lim lim
x x x x
f x f x x x x x x x
x x x x
→ →
− + − +
=
− −

( ) ( )
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
sin sin sin
cos cos
lim lim 3 lim
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x

− −
   

0 0 0 0 0 0 0
cos sin 3sin cos 2sinx x x x x x x= + − = −
( )
0 0 0 0
' cos 2sinf x x x x= −1. Dùng đònh nghóa, tính đạo hàm các hàm số sau tại x
0
= 0
a.
1 cos
0
( )
0 0
x
x
f x
x
x
−

≠

=



x
=
+
d.
( )
1
x
f x
x
=
+a.

Ta có:
( )
( )
2
2
2
0 0 0
2
sin
( ) (0) 1 cos 1 1 1
'(0) lim lim lim '(0)
0 2 2 2
x
x
x x x


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 17

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Vì
( )
0 0
1
sin lim lim 0
x x
x x x x x
x
→ →
 
− ≤ ≤ − = =
 
 
và

c.

( )
( )
0 0 0
0 (0)
1


≥


+
= =

−

<

+

nếu
nếu

1
0 0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim lim 1
0 1
x
x
x x x
f x f
f
x x x
+ + +
+
+

f
không có đạo hàm tại x
0
= 2
2. Tính đạo hàm các hàm số sau
a.
2
0
2
1
( ) 1
4 2 1
x x
f x x
x x x

≥

= =

− + − <


nếu
tại
nếu

b.
2
0

( )
2
1 1 1
( ) (1) 1
'(1 ) lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f x
f x
x x
+ + +
+
→ → →
− −
= = = + =
− −

( )
( )
2
1 1 1
4 2 1
( ) (1)
'(1 ) lim lim lim 3 2
1 1
x x x
x x
f x f
f x
x x

sin
1
2
1 1 1
( ) (1) sin
lim lim lim
1 1
1
x
x
x x x
f x f x
x x
x





= =



ẹaởt t = x 1 => x = t + 1 khi x

1 thỡ t

0
Vaọy
( )

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 19

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1.

Cho
4 2
nếu x 1
( )
1
1 nếu 1
x
f x
x
x

−
≠

=
 −

=


CMR: hàm số liên tục tại x = 1. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

3 1
x x
f x
x
liên tục tại x = -3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy
4.

Cho hàm số f(x) xác đònh bởi:
1
sin 0
( )
0 0
x nếu x
f x
x
nếu x
α

 
≠

 
=
 


=


Xác đònh số thực

−
−
= = =
−
− +

1
(1) lim ( ) 1
x
Vậy f f x
→
= =
Do đó, f(x) liên tục tại x = 1
* Cho biến số 1 số gia
0x
∆ ≠
tại x = 1
Ta có:
( )
( )
2 1 2 2
( ) 1 1
1 1
1 1
x
y x x f x
x
x
+ ∆ −
∆ = + ∆ − = − = −


Vaäy
1
'(1)
4
f = −

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 21

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

2.

1 1
( 1) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1
x x
f a f x a f x b
+ −
→− →−
− = − = − = −

Hàm số có đạo hàm tại x = -1 thì liên tục tại –1
1 1
( 1) lim ( ) lim ( ) 1 1 2
x x
f f x f x a b a b
+ −

∆ → ∆ →
− + ∆ − − − + ∆ + − + ∆ − −
− = = = −
∆ ∆

f(x) có đạo hàm tại x = -1
'( 1 ) '( 1 ) 2 2 4f f b b
+ −
⇔ − = − ⇔ = − ⇒ =

Ta có:
2 2
4 4
a b x
b b
+ = = −
 
⇒
 
= =
 
thì hàm số có đạo hàm tại x= -1 và
f ' (-1) = 2
3.
Ta có:
9
( 3)
10
f − = −



− −
= = −


−
⇒ − = = = −

+ +

= = −

−


Vậy hàm số liên tục tại x = -3
* Cho biến số 1 số gia
0x
∆ ≠
tại –3 và
3x x
∆ = +

( )
( )
0 3 3
0 3 3
( ) ( 3) 10 23 53
0 : lim lim lim
3 10 3 1 100

∆ + −


Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = -3
1. * Với
0 0
1 1 1 1
0 : lim .sin lim .sin
x x
x x
x x x x
α α
α α
α
− −
→ →
≤ = ⇒ =
không tồn tại
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 22

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

* Với
0
1
0 : lim .sin 0 (0)
x

−
 
= =
 
−
 

Nếu
1
0
1
1 0 1 lim .sin 0 '(0) 0 1
x
thì x f với
x
α
α α α
−
→
 
− > ⇔ > = ⇒ = >
 
 

3. Với
1
2
1 1 1
0 : '( ) . .sin .cosx ta có f x x x
x x x

α
>1.
Cho hàm số f(x) xác đònh bởi:
2
1
( )
1
x nếu x
y f x
x bx c nếu x
≤

= =

− + + >


Tìm b, c để
f(x)
có đạo hàm tại x = 1
2. Cho hàm số:
( )
2
. 0
( )
1 0
bx

>



Tìm A, B để hàm số có đạo hàm với mọi x

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 23

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 1 thì f(x) liên tục tại x = 1 nên
( )
2
1
1 1
lim ( ) (1) lim ( ) 1 lim 1 2 2
x
x x
f x f f x x bx c b c b c
+ +
→
→ →
= ⇒ = ⇔ − + + = ⇒ + = ⇒ = −

Ta có:
( )
( )

x x x
f x f x
x
x x
− − −
→ → →
− −
= = + =
− −

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì:
1 1
( ) (1) ( ) (1)
lim lim 2
1 1
x x
f x f f x f
c
x x
+ −
→ →
− −
= ⇔ = −
− −

Vậy
2 4
2 2
b c b
c c

x x
f
f x ax bx f f a
f x x a e a
+ +
− −
→
→ →
−
→ →

=


= + + = ⇒ = ⇔ =


= + =



Ta lại có:
( )
0
'( )
2 0
bx bx
e b x a e với x
f x
ax b với x

x x x
y
f x ax b b
x
+ + +
∆ → ∆ → ∆ →
∆
= = + =
∆

0 0
1
1
lim lim
1
2
x x
ab b
y y
b
Mà a
x x
+ −
∆ → ∆ →
− =

∆ ∆
= ⇔ ⇒ =

=

x
f x A x A B
x
f x x B B
+ +
− −
→ →
→ →

=


= = = ⇒ =



= + =


Ta laïi coù:
2
2
1 0
'( )
sin2 sin
. 0
vôùi x
f x
x x x
A vôùi x

x x
A
y
A
x x
− −
+ −
+ +
∆ → ∆ →
∆
∆ → ∆ →
∆
∆ → ∆ →
∆ ∆ −

= =

∆ ∆
∆ ∆

⇒ = ⇔ =

∆ ∆
∆

= =

∆ ∆



− +

3.
2
4 1
( )
2
x
f x
x
+
=
+1.
( )
1
( ) 1 1f x x
x
 
= + −
 
 
Dạng . ' ' 'y u v y u v v u
= ⇒ = +
và
( )
1
2

x
f x
x x
+
=
− +
Dạng
2
' '
'
u u v v u
y y
v v
−
= ⇒ =

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
3 3
2 3
2 2
2
2 2
2 2

x x x
x x
x x x x
+ − +
+ −
= =
− + − +

3.
2
4 1
( )
1
x
f x
x
+
=
+
Dạng
2
' '
'
u u v v u
y y
v v
−
= ⇒ =
và
( )

2 2
2 2
x
x
x x x x
x x
x
f x
x x
x x
+
′
′
+ + − + +
+ − +
−
= = =
+ +
+ +

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.
(
)
2
sin 4y x
= +