C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH
1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 2

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và
phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.

2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG.
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn
một số điều kiện.

2.1.1 Biểu diễn đường cong.
Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dướ
i các dạng:

- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ
trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình:

01),(
22
=−+= yxyxf
: Phương trình ẩn (2.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:


)1/()1()(
22
tttxx +−==
;
)1/(2)(
2
tttyy +==
(2.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình
tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường
cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

)(txx =
;
)(tyy =
;
)(tzz =

hay dưới dạng vectơ:
)](),(),([)( tztytxtr =

y
x
y
P(x,y)
o
θ


b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.

1. Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm
)(
tr
&
được gọi là độ chảy của đường cong:

)()( trts
&&
=
(2.5)
Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này
được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s)
trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chả
y của đường cong
không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá.

2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

dttrs
∫
=

vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T
và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ
B vuông góc với vectơ N và T được gọi là
vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:
B = TxN

T
N
Đường tròn mật tiếp
Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính
và đường tròn mật tiếp
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH
3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
4. Độ cong và bán kính cong:
Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
r(t). Độ cong được định nghĩa như sau:

dsdTk /=
(2.9)
hay dưới dạng vi phân:

3
r
rr
k
&
&&&
×
=

5. Độ xoắn của đường cong:
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:

NdsdB )./(−=
τ

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản
mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

;/ Tdsdr =

kNdsdT =/kTBdsdN −=
τ
/
;
1
/
−
−= NdsdB
τ
(2.12)

2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG.

2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn.

4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
với:
π
20 ≤≤ u
và
2/2/
ππ
≤≤− v

Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới
hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.

3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte
),( yvxu ≡≡
, mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số:

)),(,,(),( vuzvuvur =
hay
),( yxzz =
(2.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu
diễn dưới dạng tường minh:

2/122
)1( yxz −−=
với
1)(
22
≤+ yx


Hình học mặt cong
được minh hoạ trên hình
2.3. Ta thường gọi phần
mặt cong trong miền tham
số giới hạn là mặt lưới. Các
mặt lưới liên kết theo điều
kiện kết nối liên tục tạo
thành mặt cong phức hợp.
u
(u=0,v=0)
v
điểm gốc
đường
biên
(u=1,v=1)
đường sinh phương v
đường sinh

)(,
*
*

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH
5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

Vectơ tiếp tuyến.
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

urr
u
∂∂= /
;
vrr
v
∂∂= /
;
vurr
uv
∂∂∂= /
2
(2.20)
Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có:

vrur
dt
dv
v
r

r
&
, r
u
, r
v
xác định mặt
phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4).

Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:

vuvu
rrrrn ××= /)(
(2.22)
Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.

Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:

qvrurr
vu
&&&&
Λ=+=
(2.23)
trong đó:
vu
rr ,=Λ
;

: Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25)
Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:

2/1
)/()(/ qGqqrrT
T
&&&&&
Λ==
(2.26)
Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau:

dudvGdudvrrS
vu
2/1
∫∫∫∫
=×=
(2.27)

2.2.3 Độ cong.

Ma trận cơ sở thứ hai.
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai
của r(t) theo t có giá trị như sau:

vuvvvuuvuu
rvrurvvrurvruur
&&&&&&&&&&&&
+++++=
)()(

&
&
&
; và
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
nrnr
nrnr
D
vvuv
uvuu
..
..
: ma trận cơ sở thứ hai.